Esercizi Analisi matematica 2

Esercizi proposti nelle video esercitazioni

Curve nel piano

Stabilire se le seguenti curve sono semplici, chiuse e regolari, disegnarne il sostegno.

(1) ϕ(t) = (t² − t, (t − 1)²), t ∈ [0, 2]

(2) ϕ(t) = (t²/(1 + t²), t³/(1 + t²)), t ∈ R

(3) ρ(θ) = |π − θ|, θ ∈ [0, 2π]

(4) ρ(θ) = |2 sin θ|, θ ∈ [0, 2π]

(5) ρ(θ) = 2 + cos(4θ), θ ∈ [0, 2π]

Curve nello spazio

(1) Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare di sostegno l’intersezione del cilindro circolare (x − 1)² + y² = 1 con il paraboloide circolare z = x² + y², provare che la curva è piana (torsione nulla) e determinare l’equazione del suo piano, determinare l’equazione della circonferenza osculatrice nell’origine.

(2) Determinare una parametrizzazione della curva semplice e regolare a tratti di sostegno l’intersezione dei cilindri circolari x² + y² = 4 e x² + z² = 4 nella regione z ≥ 0, verificare che il sostegno della curva nella regione y ≥ 0 è contenuto in un piano. Determinare l’equazione della circonferenza osculatrice nel punto P₀ = (0, 2, 2).

Continuità, derivabilità e differenziabilità

(1) f(x, y) = (xy sin √(x² + y²)) / (x² + y²)³ se (x, y) = (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0), ν = (α, β), in O = (0, 0)

(2) f(x, y) = (−yx√(x² + y²)) / (x² + y²)³ se (x, y) = (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0), ν = (α, β), in O = (0, 0)

(3) f(x, y) = (|x|y²) / (x² + y²) se (x, y) = (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0), ν = (α, β), in O = (0, 0)

(4) f(x, y) = (y sin x√(x² + y²)) / (x² + y²)² se (x, y) = (0, 0) e x ≥ 0, 0 se (x, y) = (0, 0) oppure x < 0, ν = (α, β), in O = (0, 0)

(5) f(x, y) = (|x³ − y³|√(x² + y²)) / (2x² + y²) se (x, y) = (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0), ν = (α, β), in O = (0, 0) e in P = (1, 1)

(6) f(x, y) = (−2xxy³) / (2x² + y²) se (x, y) = (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0), in O = (0, 0) (no derivate direzionali)

(7) f(x, y) = (|x⁶y| log(x² + y²)) / (3√(x² + y²)) se (x, y) = (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0), in O = (0, 0) (no derivate direzionali)

(8) Studiare la derivabilità della funzione dell’esercizio (7) nei punti (x₀, 0) e (0, y₀) con x₀, y₀ = 0

(9) f(x, y) = 1 se xy = 0, 0 se xy = 0, in O = (0, 0) (no derivate direzionali)

(10) f(x, y) = (x sin(x² + y²)) / (x² + y²) se (x, y) = (0, 0),