Tecnologia dei materiali e chimica applicata: Esercizi svolti su acciaio e calcestruzzo

Esercizi: acciaio e metalli

Es. 1.1

Una barra d'acciaio, lunga 150 mm e sezione quadrata (20 mm lato), sottoposta ad un carico di trazione pari a 90 kN, subisce un allungamento elastico pari a 0,1 mm. Calcolare il modulo elastico E.

F = 90 kN
ΔL = 0,1 mm
E = ?

Legge di Hooke
J = εE
E = J/ε

Suggerimento

J = F/S = 90/400•10^-6 = 0,225•10⁶ kN/m² = 225 MPa

ε = ΔL/L₀ = 0,1•10^-3/0,15 = 0,67•10^-3

E = J/ε = 225/0,67•10^-3 = 335,82•10³ MPa ≅ 336 GPa

Ricorda
k = 1.000
M = 1.000.000
G = 1.000.000.000

Es. 1.2

Una cabina pesa 500 kg e supporta un carico massimo di 350 kg. Supponendo di utilizzare una fune di acciaio Fe 310 e applicando un coeff. di sicurezza pari a 2, dimensionare la sezione S della fune.

Carico massimo → P_T = 500 + 350 = 850 kg

Coefficiente di sicurezza → α = 2

Forza agente → F = P_T * α * g = 850•2•9,8 = 16.660 N

Acciaio Fe 310 → J_R = 310 MPa

Svolgimento

J_y = 0,6 * J_R = 0,6 * 310 = 186 MPa = Carico di esercizio

Per essere in campo elastico dovrà essere:

J = F/S ≤ J_y → S ≥ F/J_y = 16.660/186•10⁵ Pa = 0,89•10^-4 m² = 0,89 cm²

Data la sezione circolare si ha:

A = π * (d/2)² → d ≥ √(4•0,89/π) = 1,065 cm ≅ 11 mm

Esercizi: acciaio e metalli

Es. 1.1

Una barra d'acciaio lunga 150 mm e sezione quadrata (10 mm lato) sottoposta ad un carico di trazione pari a 90 kN subisce un allungamento elastico pari a 0,1 mm. Calcolare il modulo elastico E.

Svolgimento

= /S = ⁹⁰/₁₀₀₋₆ = 0,225·10³ /² = 225 ε = ΔL/L₀ = 0,1·10⁻³ / ₀.₁₅ = ₀.₆₇·10⁻³ E = /ε = ₂₂₅/₀.₆₇·10⁻³ = ₃₃₅.₈₂ ·10³ = ₃₃₆

Es. 1.2

Una cabina pesa 500 e supporta un carico massimo di 350. Supponendo di utilizzare una fune di acciaio Fe 310 e applicando un coeff. di sicurezza pari a 2, dimensionare la sezione S della fune.

Carico massimo → ₜ = 500 + 350 = 850

Coefficiente di sicurezza → ₖ = 2

Forza agente → = ₜ · = 850 · 2 · 9,8 = 16.660

Acciaio Fe 310 → _p = 310

Svolgimento

_y = 0,6 · _p = 0,6 · 310 = 186 → Carico di esercizio

Per essere in campo elastico dovrà essere:

= /S ≤ _y S ≥ /_y = ^16.660/_186·10⁶ = 0,89 ·10⁻⁴ ² = 0,89 ²

Data la sezione circolare si ha:

A = π*(^d/₂)² → 0,89 ² → d ≥ √^4·0.89/_π = 1,065 → d ≅ 11

Es. 1.3

Un provino cilindrico di alluminio (materiale duttile), che ha le seguenti dimensioni iniziali diametro ϕ = 12,8 mm ed altezza H₀ = 50,8 mm è sottoposto a prova di trazione. Siano dati i seguenti dati di carico (vedi tabella): forza F(N) ed allungamento del provino + (mm).

Determinare:

• L'andamento carico-deformazione, utilizzando le leggi ed equazioni note;
• Il limite elastico ed il corrispondente carico limite alla snerv. (σ_y);
• Il modulo elastico E;
• Il punto di stazione corrispondente al carico massimo σt;
• Il carico di rottura J_R;
• La duttilità del materiale, espressa come percentuale all'elongazione.

Svolgimento

Il problema va risolto per via grafica.

Domanda I

Tensione nominale J_n = F/A₀

Area iniziale sezione provino A₀ = π.(D/2)² ≅ 128,68 mm²

Deformazione nominale Ε_n = (H-H₀)/H₀ con la lunghezza iniziale del provino pari a H₀ = 50,8 mm

(Costruisco una nuova tabella con le formule sopra scritte)

Grafico J_n = f (Ε_n)

Domanda II

Il limite elastico è la fine del tratto lineare = J_y ≅ 270 MPa

Domanda III

E = J_y / ε = 270 / 0,5 = 54 GPa

Domanda IV

J_R = 283 MPa

Domanda V

dJ_n / d ε ≠ 0

Domanda VI

d = ε_U - ε = 16,5 - 0,5 = 16%

Esercizi: calcestruzzo

Es. 2.1

100 g di cemento anidro (di massa volumica M.V. = 3,145 g/cc) vengono idratati con 42 g di acqua in un contenitore ermetico. Calcolare il volume finale della porosità capillare, se il volume dei prodotti idratati del cemento è pari a 48,9 cc e l’acqua presente nella porosità di gelo è pari a 19 g.

Svolgimento

Il volume iniziale del cemento anidro è:

V_c = ^P/_M.V. = ¹⁰⁰/_3,145 = 31,8 cc

Analogamente, il volume dell’acqua è:

V_a = ^P/_M.V. = ⁴²/₁ = 42 cc

Il volume iniziale prima della reazione di idratazione è:

V_i = V_c + V_a = 73,8 cc

Analizzo, ora, le condizioni finali. Il volume dell’acqua nella porosità di gelo è:

P_g = ^P/_M.V. = ¹⁹/₁ = 19 cc

Il resto dell’acqua si è combinata con il cemento anidro. Il volume dei prodotti del cemento idratato è V_s = 48,9 cc

Il volume finale sarà allora:

V_f = V_s + P_g + P_c

Poiché il volume iniziale deve essere uguale a quello finale, ricavo la porosità capillare dall’equazione:

P_c = V_f - V_s - P_g = 73,8 - 48,9 - 19 = 5,9 cc

Es. 2.2

Da una analisi chimica elementare di un cemento si ottengono le seguenti % in peso degli ossidi componenti: Calce (CaO) = 63%, Silice (SiO₂) = 22%, Allumina (Al₂O₃) = 6%, Ferrite (Fe₂O₃) = 5%. Calcolare con il metodo di Bogue le % in peso dei composti principali del cemento.

Svolgimento

Componenti principali del cemento Portland:

• Silicato tricalcico C₃S → 3 CaO.SiO₂
• Silicato bicalcico C₂S → 2 CaO.SiO₂
• Alluminato tricalcico C₃A → 3 CaO.Al₂O₃
• Alluminato ferrito tetracalcico C₄AF → 4 CaO.Al₂O₃.Fe₂O₃

# I numeri davanti agli ossidi rappresentano il rapporto tra peso molecolare

Calcolo i pesi molecolari degli ossidi (come somma dei pesi atomici)

_^CaO = 40 + 16 = 56

SiO₂ = 28 + 2 * 16 = 60

Al₂O₃ = 2 * 27 + 3 * 16 = 102

Fe₂O₃ = 2 * 56 + 3 * 16 = 160

Peso molecolare

Parto dal composto in cui ho solo un elemento e ne conosco quindi la percentuale. Faccio un composto dopo l'altro. Attraverso i rapporti molecolari calcolo le percentuali dei vari ossidi del composto grazie all'unica percentuale nota.

C₄AF = 4CaO,Al₂O₃,Fe₂O₃

So che la ferrite appartiene solo a questo composto, con una % del 5 %

rapporto tra Al₂O₃ e Fe₂O₃ = 1:1

Al₂O₃ : Fe₂O₃ = x : 5x = ^{Al₂O₃ * 5}/_Fe2O3 = ^{102 * 5}/₁₆₀ = 3,18 %

rapporto tra CaO e Fe₂O₃ = 4:14

CaO : Fe₂O₃ = x : 5x = ^{4CaO * 5}/_Fe2O3 = ^{4 * 56 * 5}/₁₆₀ = 7 %

C₄AF(CaO = 7 % Al₂O₃ = 3,18 % Fe₂O₃ = 5 % = 15,18 % → % di C₄AF nel cemento

C₃A = 3CaO, Al₂O₃

Al₂O₃ totale = 6 % → 6 - 3,18 = 2,82 %

rapporto tra CaO e Al₂O₃ = 3:13

CaO : Al₂O₃ = x : 2,82x = ^{3CaO * 2,82}/_Al2O3 = ^{(3 * 56) * 2,82}/₁₀₂ = 4,6 %

C₃A(CaO = 4,6 % Al₂O₃ = 2,82 % = 7,42 % ← % di C₃A nel cemento

C₂S C₃S

la calce residua è = 67 - 7 - 4,6 = 55,4 %

(→ rapporto dei due componenti)

SiO₂ / C₂S = ⁶⁰/_2(56)+60 = ⁶⁰/₁₇₂ = 0,34

SiO₂ / C₃S = ⁶⁰/_3(56)+60 = ⁶⁰/₂₂₈ = 0,26

Pongo x = C₂S   y = C₃S

{ x + y = 22 + 55,37 0,34x + 0,26y = 22 x = 19,21 % - % di C₂S nel cemento y = 58,16 % - % di C₃S nel cemento

C₂S = 2CaO . SiO₂

La silice nel C₂S è:

SiO₂ . C₂S = x . 19,21x = ^{SiO₂ . 19,21}/_C2S = ^{60 . 19,21}/₁₇₂ = 6,7 %

La calce nel C₂S è:

2CaO . C₂S = x . 19,21x = ^{2CaO . 19,21}/_C2S = ^{112,51 %}

C₂S { SiO₂ = 6,7 % CaO = 12,51 % } = 19,21 %

C₃S = 3CaO . SiO₂

La silice nel C₃S è:

SiO₂ . C₃S = x . 58,16x = ^{SiO₂ . 58,16}/_C3S = ^{60 . 58,16}/₂₂₈ = 15,3 %

La calce nel C₃S è:

3CaO . C₃S = x . 58,16x = ^{3CaO . 58,16}/_C3S = ^{3(56) . 58,16}/₂₂₈ = 42,86 %

C₃S { CaO = 42,86 %   SiO₂ = 15,3 % } = 58,16 %

Es. 2.3

Proporzionare percentualmente tre inerti, utilizzando come riferimento la curva di Fuller. Fare riferimento ad una scala lineare (pc) in funzione di √φ. Tabella dei trattenuti parziali:

Suggerimento

Costruisco una nuova tabella per ricavare le curve dei passanti cumulativi degli inerti da confrontare con la curva di Fuller.

T = Trattenuto = % di inerte trattenuto al singolo vaglio

Tc = Trattenuto cumulativo = % di inerte trattenuto fino a quel vaglio, ottenuta per somma dei trattenuti parziali

Pc = Passante cumulativo = % di inerte passante fino a quel vaglio, ottenuta per sottrazione tra il passante cumulativo al precedente, meno il trattenuto a quel vaglio

Calcolo moduli di finezza

Sabbia: M.F. = ΣTc/100 = (22 + 36 + 64 + 84 + 100) / 100 = 3,06

Ghiaino: M.F. = ΣTc/100 = (48 + 80 + 100) / 100 = 2,28

Ghiaia: M.F. = ΣTc/100 = (54 + 64 + 100) / 100 = 2,23

Es. 2.4

Frazionare percentualmente i due inerti le cui caratteristiche sono riportate in tabella, utilizzando come riferimento la curva di Fuller. Dopo aver proposto una miscelazione tra sabbia e ghiaia, verificare se il misto granulometrico rientra nel fuso granulometrico.

Svolgimento

Costruisco una nuova tabella per ricavare le curve dei passanti cumulati degli inerti da confrontare con la curva di Fuller.

Calcolo i moduli di finezza.

Sabbia M.F. ΣTc = 10 + 22 + 36 + 64 + 84 + 100 / 100 = 3,16

Ghiaia M.F. ΣTc = 44 + 69 + 80 + 95 + 100 / 100 = 3,88

45% Sabbia
55% Ghiaia

Devo confrontarlo su fuso granulometrico, creo una nuova tabella in cui moltiplica il trattenuto parziale per la % scelta.

Es. 2.5

Un calcestruzzo è stato confezionato con un dosaggio di cemento (a_c) = 350 kg/m³ e un contenuto di acqua (a_w) = 210 l/m³. Il peso specifico del calcestruzzo vale 2300 kg/m³ e la resistenza caratteristica R_ck = 40 MPa. Calcolare:

• Il ritiro del ritiro igrometrico per una trave lunga 8 m (ritiro igrometrico = 0,05 ‰);
• La tensione di trazione nelle condizioni di trave in c.a. ancorata dovuta al ritiro idr.;
• Il contenuto di inerti espresso in kg/m³

Svolgimento

• Il ritiro per ogni metro di lunghezza = 0,5 mm (0,05 ‰). Il ritiro totale sarà:

ΔL = 8 · 0,05 ‰ = 4 · 10^-3 m = 4 mm

• σ_T = Eε

E = 5800 √R_ck = 5800 √40 = 36050 MPa ε = ΔL/L = 0,004 = 0,0005 = 0,5 mm

σ_T = 35050 · 0,0005 = 17,52 MPa R_ct = R_ck/10 = 4 MPa

• p.s. = ρ_a + i

i = 2300 - 350 + 210 + i

i = 2300 - 350 - 210 = 1740 kg/m³

Es. 2.6

Confezione un calcestruzzo per un pilastro quadrato (30×30 cm) con le seguenti car.rest.chne: R_ck = 40 MPa; f_ck 42,5 S slump 200 mm