Risposte aperte Controllo e navigazione del veicolo, 2026

CONTROLLO E NAVIGAZIONE DEL VEICOLO

Controllo e navigazione del veicolo

Risposte alle domande aperte

Docente Ortenzi Davide · Ingegneria industriale · Paniere del 31 marzo 2026

Lezione 003

01. Si descriva le possibili strutture di un sistema di controllo e per ogni tipologia si illustri un esempio

applicativo.

Un controllo in catena aperta calcola l'azione di comando dal riferimento senza misurare l'uscita: per

esempio, un motore alimentato con una tensione prefissata per ottenere una velocità nominale. È semplice,

ma non corregge variazioni del carico o errori del modello.

Nel controllo in catena chiusa l'uscita misurata viene confrontata con il riferimento; l'errore alimenta il

regolatore. Un esempio è il cruise control, che modifica la coppia motrice per mantenere la velocità anche in

salita. Nella retroazione negativa, con sensore unitario, la funzione riferimento-uscita è

T(s)=C(s)G(s)/[1+C(s)G(s)].

Il controllo anticipativo o feedforward sfrutta il riferimento o un disturbo misurabile per compensarne

preventivamente l'effetto: per esempio, aumentare il comando di coppia quando si misura una pendenza.

Spesso è combinato con la retroazione. Nel controllo in cascata un anello esterno genera il riferimento di un

anello interno più rapido: nel motore elettrico l'anello di velocità può comandare quello di corrente.

Lezione 005

01. Un circuito elettrico costituito da un collegamento serie fra un generatore di tensione continua V, un

resistore R e una capacità C, è un sistema dinamico? Di quale ordine? Esso possiede un punto di equilibrio

stabile?

Sì. Il condensatore accumula energia e la sua tensione conserva memoria delle condizioni iniziali: il circuito è

dinamico del primo ordine, perché basta una variabile di stato indipendente, x=vC. Per R>0 e C>0, la legge di

Kirchhoff dà RC·dvC/dt+vC=V, quindi dx/dt=−x/(RC)+V/(RC).

Con tensione continua V, l'equilibrio è xeq=V e la corrente di equilibrio è nulla. La soluzione è

vC(t)=V+[vC(0)−V]e^(−t/RC). Poiché il polo è −1/(RC)<0, ogni scostamento dall'equilibrio decade: l'equilibrio è

globalmente asintoticamente stabile, con costante di tempo τ=RC. La corrente vale i(t)=[V−vC(0)]e^(−t/RC)/R.

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Lezione 006

01. Data la matrice della dianamica A=[-1,1,0;0,-2,0;-1,-1,0]. Qaunto vale la molteplicità algebrica? Qaunto

vale la molteplicità geometrica? Se la matrice è diagonalizzabile, allora si fornisca la matrice diagonale

equivalente. N.B= con la notazione di (;) si indica la fine di una riga.

La matrice è triangolare a blocchi e il polinomio caratteristico è det(λI−A)=λ(λ+1)(λ+2). Gli autovalori sono −1,

−2 e 0. Per ciascuno la molteplicità algebrica è 1 e quella geometrica è 1: non esiste una sola molteplicità da

attribuire indistintamente alla matrice.

Si possono scegliere gli autovettori v1=(1,0,1)ᵀ per λ=−1, v2=(−1,1,0)ᵀ per λ=−2 e v3=(0,0,1)ᵀ per λ=0. Pertanto

P=[1,−1,0; 0,1,0; 1,0,1] è invertibile e P⁻¹AP=diag(−1,−2,0). La matrice è diagonalizzabile. Il modo associato

all'autovalore nullo è costante, mentre gli altri decadono; il sistema autonomo è stabile nel senso di

Lyapunov, ma non asintoticamente stabile nell'origine.

Lezione 007

01. Dare la definizione dei modi naturali. Descrivere la differenza fra i modi aperiodici e pseudo peroidici.

I modi naturali sono le forme temporali elementari presenti nella risposta libera di un sistema, cioè nella sua

evoluzione con ingresso nullo. Per un sistema LTI dx/dt=Ax derivano dagli autovalori e dagli eventuali blocchi

di Jordan di A: i termini generali sono t^k e^(λt), dove k dipende dalla dimensione del blocco.

Un autovalore reale genera modi aperiodici: per esempio e^(−at) decade senza oscillare, mentre e^(at), con

a>0, cresce. Autovalori complessi coniugati λ=σ±jω generano modi reali pseudoperiodici e^(σt)cos(ωt) ed

e^(σt)sin(ωt). La pulsazione è |ω| e l'inviluppo dipende da σ: oscillazioni smorzate per σ<0 e crescenti per

σ>0. Se σ=0 si hanno oscillazioni periodiche non smorzate; blocchi di Jordan non banali introducono fattori

polinomiali.

02. Dato il seguente sistema descitto dalle matrici A-B-C-D, calcolare la sua risposta libera dello stato e

dell'uscita: A=[1,-2;2,1], C=[1,1] B=[1;1], D=0 Le condizioni iniziali dello stato sono x_0=[1,1] L'ingresso

applicato al sistema è pari a u=[1;0] N.B= con la notazione di (;) si indica la fine di una riga.

Per la risposta libera si pone u=0, indipendentemente dall'ingresso indicato nel testo. Si assume x(0)=(1,1)ᵀ.

Scrivendo A=I+2J, con J=[0,−1;1,0] e J²=−I, si ottiene e^(At)=e^t[cos(2t),−sin(2t); sin(2t),cos(2t)].

La risposta libera dello stato è quindi xL(t)=e^t[cos(2t)−sin(2t); sin(2t)+cos(2t)]. L'uscita libera è

yL(t)=CxL(t)=2e^t cos(2t), perché D=0. Gli autovalori 1±2j hanno parte reale positiva: il sistema è instabile.

La scrittura u=[1;0] non è dimensionalmente coerente con B=[1;1], che ammette un solo ingresso scalare.

Questo refuso impedisce di interpretare univocamente la risposta forzata, ma non influisce sulla risposta

libera richiesta.

Lezione 008

01. Dare la definizione di stato di equilibrio di un sistema lineare. Fornire un esempio.

Uno stato xeq è un equilibrio per l'ingresso costante ueq quando, iniziando da xeq e mantenendo ueq, lo stato

rimane costante. Nel sistema continuo dx/dt=Ax+Bu la condizione è Axeq+Bueq=0; l'uscita di equilibrio è 2

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yeq=Cxeq+Dueq. Se A è invertibile, xeq=−A⁻¹Bueq. Se A è singolare possono esistere nessuno, uno o infiniti

equilibri, a seconda della compatibilità delle equazioni.

Per esempio, nel circuito RC con ingresso V costante, dvC/dt=−vC/(RC)+V/(RC), l'equilibrio è vC=V. La

definizione di equilibrio non implica automaticamente la stabilità: questa dipende da come evolvono le

perturbazioni attorno all'equilibrio.

Lezione 009

19. La stabilità asintotica implica la stabilità semplice? Si giustifichi la risposta.

La stabilità asintotica comprende due proprietà: stabilità nel senso di Lyapunov e attrattività. Quindi implica la

stabilità di Lyapunov: a perturbazioni iniziali sufficientemente piccole corrispondono traiettorie che restano

vicine all'equilibrio, e inoltre vi convergono.

Occorre precisare la terminologia: se «stabilità semplice» indica la stabilità di Lyapunov senza richiedere la

convergenza, l'implicazione è vera. Se invece viene usata per indicare la stabilità soltanto marginale, cioè

stabile ma non asintotica, le due categorie sono distinte. Per un LTI continuo, autovalori tutti con parte reale

negativa danno stabilità asintotica; autovalori semisemplici sull'asse immaginario, senza autovalori nel

semipiano destro, possono dare stabilità marginale.

20. Dare la definizione di stabilità asintotica per un sistema lineare e stazionario. Si illustrino le proprietà.

Un equilibrio è asintoticamente stabile se è stabile nel senso di Lyapunov e tutte le traiettorie che partono

sufficientemente vicine tendono a esso quando t tende a infinito. Per il sistema LTI continuo dx/dt=Ax,

l'origine è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale strettamente

negativa: A è una matrice di Hurwitz.

In questo caso e^(At) tende alla matrice nulla e, in dimensione finita, esistono M≥1 e α>0 tali che ||x(t)||≤M

e^(−αt)||x(0)||. La stabilità è quindi esponenziale e globale. Per un ingresso costante e un equilibrio

compatibile, lo scostamento z=x−xeq soddisfa dz/dt=Az e ha le stesse proprietà. La stabilità interna non

dipende dalla particolare ampiezza dell'ingresso; non va confusa con la sola stabilità ingresso-uscita di una

realizzazione non minima.

21. Data la seguente matrice della dinamica A: A=[-1,3;0,2] Determinare per quali valori degli stati iniziali, la

risposta libera nello stato del sistema è stabile. N.B= con la notazione di (;) si indica la fine di una riga.

Le equazioni libere sono dx1/dt=−x1+3x2 e dx2/dt=2x2. Posto x(0)=(a,b)ᵀ, si ottiene x2(t)=b e^(2t) e

x1(t)=(a−b)e^(−t)+b e^(2t).

Per eliminare il modo crescente deve essere b=0. Tutte e sole le condizioni iniziali che producono una

traiettoria limitata e convergente all'origine sono quindi x(0)=(a,0)ᵀ, con a reale arbitrario. Su tale sottospazio

x(t)=(a e^(−t),0)ᵀ.

Il sistema nel suo complesso resta instabile, perché A possiede l'autovalore +2. La limitatezza di alcune

traiettorie particolari non costituisce stabilità dell'equilibrio rispetto a perturbazioni iniziali arbitrarie. 3

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Lezione 010

01. Dato il seguente polinomio: s^4+10s^3+5s^2+(6+10K)s+K=0 calcolare per quali valori di K il sistema

risulta essere raggiungibile secondo il criterio di Routh.

Il criterio di Routh studia la stabilità, non la raggiungibilità. Quest'ultima richiede almeno le matrici A e B, che

il testo non fornisce. Interpretando quindi la richiesta come stabilità asintotica del polinomio

p(s)=s⁴+10s³+5s²+(6+10K)s+K, le righe della tabella di Routh sono:

s⁴: 1, 5, K; s³: 10, 6+10K, 0; s²: 22/5−K, K, 0; s¹: {[(22/5−K)(6+10K)−10K]/(22/5−K)}, 0, 0; s⁰: K.

La prima colonna deve essere strettamente positiva. Le condizioni sono K>0, K<22/5 e 26,4+28K−10K²>0.

L'intersezione dà 0<K<(7+√115)/5, cioè 0<K<3,544761 circa.

Gli estremi non danno stabilità asintotica: K=0 introduce un polo nell'origine; al limite superiore compare una

coppia di radici sull'asse immaginario.

Lezione 011

01. Dato il seguente sisitema descritto dalle matrici A-B-C-D, descrivere le sue proprietà: è stabile

asintoticamente? E' completamente raggiungibile? E' completamente osservabile? A=[-4, -3, -4; 4,3,4; 3,3,3]

B=[0;1;0] C=[2,1,1] D=0. N.B= con la notazione di (;) si indica la fine di una riga.

Il polinomio caratteristico è det(λI−A)=λ(λ+1)(λ−3), quindi gli autovalori sono 0, −1 e +3. Il sistema non è

asintoticamente stabile ed è internamente instabile per la presenza di +3.

Per la raggiungibilità, B=(0,1,0)ᵀ, AB=(−3,3,3)ᵀ e A²B=(−9,9,9)ᵀ=3AB. La matrice R=[B,AB,A²B] ha rango 2<3: il

sistema non è completamente raggiungibile.

Per l'osservabilità, C=(2,1,1), CA=(−1,0,−1) e CA²=(1,0,1)=−CA. Anche O=[C;CA;CA²] ha rango 2<3: il sistema

non è completamente osservabile. Per esempio il vettore (1,0,−1)ᵀ appartiene al nucleo di O ed è un

autovettore del modo λ=−1. Le conclusioni derivano dai ranghi, non dal solo valore dei determinanti.

Lezione 013

17. Si descriva i parametri principali della risposta al gradino. Perché è importante ai fini del controllo?

La risposta al gradino mostra come il sistema passa da una condizione di regime a un'altra. I parametri

principali sono: valore finale, errore a regime, tempo di ritardo, tempo di salita, sovraelongazione massima,

tempo di picco e tempo di assestamento. Il tempo di salita è spesso definito fra il 10% e il 90% del valore

finale; l'assestamento richiede che l'uscita rimanga entro una fascia, per esempio ±2% o ±5%, attorno al

valore finale.

Per un secondo ordine dominante sottosmorzato, con 0<ζ<1, la sovraelongazione relativa è

Mp=e^(−πζ/√(1−ζ²)), il tempo di picco è tp=π/[ωn√(1−ζ²)] e il tempo di assestamento al 2% è

approssimativamente ts≈4/(ζωn).

Queste grandezze traducono specifiche pratiche di rapidità, precisione e smorzamento in requisiti di progetto

e permettono di confrontare diverse tarature del controllore. 4

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Lezione 014

01. Dato uno schema costituito da due blocchi connessi in parallelo e descritti dalle seguenti funzioni di

trasferimento G1(S) =10 e un processo G2(s)= 1/(1+s), Il sistema complessivo è asintoticamente stabile?

Con somma delle uscite dei rami in parallelo, Gtot(s)=G1(s)+G2(s)=10+1/(1+s)=(10s+11)/(s+1). L'unico polo

dinamico è s=−1, quindi il sistema è asintoticamente stabile nella realizzazione naturale costituita dal

guadagno statico e dal processo del primo ordine. Il guadagno 10 introduce un passaggio diretto ingresso-

uscita, ma nessun ulteriore stato.

Anche con sottrazione di un ramo il polo resta −1, purché l'interconnessione sia realmente in parallelo e non

una retroazione. La funzione di trasferimento descrive la stabilità ingresso-uscita; la conclusione sulla stabilità

interna presuppone che non esistano stati instabili nascosti, non specificati nello schema.

Lezione 016

01. Tracciare il diagramma di Bode per il modulo e della fase della seguente funzione di trasferimento:

G(S)=10(s+1)/(s+0,1)(s-1)

Si interpreta G(s)=10(s+1)/[(s+0,1)(s−1)]. Il polo s=+1 rende il sistema instabile, ma il diagramma di Bode

rimane definito per ω>0. Poiché |jω+1|=|jω−1|, il modulo si semplifica esattamente in

|G(jω)|=10/√(ω²+0,01). In decibel: 20log10|G|=40−10log10[1+(ω/0,1)²].

Il diagramma asintotico è a 40 dB per ω<0,1 rad/s e ha pendenza −20 dB/decade oltre 0,1. I contributi di

modulo a 1 rad/s si compensano. Una fase continua è φ(ω)=−180°+2 arctan(ω)−arctan(10ω). Parte da −180°,

scende inizialmente e tende a −90°. Il polo nel semipiano destro ha lo stesso contributo di modulo di un polo

stabile, ma un diverso contributo di fase. Il grafico allegato mostra le curve esatte. 5

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02. Tracciare il diagramma di Bode per il modulo e della fase della seguente funzione di trasferimento:

G(S)=10^3(s+0.1)/s(s+1)^2

Si interpreta G(s)=1000(s+0,1)/[s(s+1)²]=100(1+10s)/[s(1+s)²]. Il modulo in dB è

40−20log10ω+10log10(1+100ω²)−20log10(1+ω²). La fase è φ(ω)=−90°+arctan(10ω)−2arctan(ω).

L'integratore determina una pendenza iniziale di −20 dB/decade. Lo zero a 0,1 rad/s aggiunge +20 dB/decade:

fra 0,1 e 1 rad/s l'asintoto è orizzontale a 60 dB. Il doppio polo a 1 rad/s sottrae 40 dB/decade, dando

pendenza finale −40 dB/decade. La fase parte da −90°, aumenta per effetto dello zero e tende a −180° alle

alte frequenze. Il polo nell'origine impedisce la stabilità asintotica del sistema in catena aperta. Il grafico

allegato riporta modulo e fase esatti.

Lezione 017

01. Si descriva la struttutura di controllo di un motore a corrente continua controllato in velocità.

La struttura tipica comprende riferimento di velocità ωref, confronto con la velocità misurata, regolatore di

velocità, convertitore di potenza PWM o chopper e motore. L'encoder o il tachimetro chiude la retroazione. Il

regolatore è spesso un PI, perché l'integratore elimina l'errore a regime a fronte di riferimenti costanti e

coppie resistenti costanti, se l'anello è stabile e non saturo.

In una struttura in cascata il PI di velocità genera il riferimento di corrente ia,ref, proporzionale alla coppia

desiderata. Un anello interno di corrente, più rapido, comanda la tensione di armatura. Le equazioni sono

La·dia/dt+Ra ia+Keω=va e J·dω/dt+bω=Kt ia−TL.

Si prevedono limiti di corrente e tensione, antiwindup e filtraggio delle misure. L'anello interno protegge il

motore e rende più pronta la regolazione della coppia, mentre quello esterno compensa i disturbi di carico. 6

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Lezione 018

31. Descrivere la funzione di trasferimento generica di un motore in corrente continua controllato in

velocità. Fornire un diagramma qualitativo di Bode per il modulo e la fase. N.B. Per il tracciamento del

diagramma non è richiesto il calcolo del valore di eventuali poli e zeri.

Per un motore a corrente continua a flusso costante, con ingresso tensione di armatura Va e uscita velocità Ω,

le equazioni sono (La s+Ra)I+KeΩ=Va e (Js+b)Ω=KtI, assumendo nulla la coppia resistente per definire questa

funzione di trasferimento.

Eliminando I si ottiene Gω(s)=Ω(s)/Va(s)=Kt/[(La s+Ra)(Js+b)+KtKe]. È un sistema del secondo ordine senza zeri

finiti, con guadagno statico K0=Kt/(Ra b+KtKe). Se i poli sono reali negativi e separati, il Bode del modulo è

inizialmente piatto, poi scende a −20 dB/decade dopo il primo polo e a −40 dopo il secondo; la fase va da 0° a

−180°. Poli complessi poss