Primo compitino teoria di Fondamenti di algebra lineare e geometria

Algebra Lineare e Geometria

Denizioni e Dimostrazioni Domanda e Risposta

Raccolta completa e riorganizzata delle denizioni, dei teoremi e delle dimostrazioni,

trascritti integralmente dagli appunti originali in formato domandarisposta.

Indice

1 Funzioni e Matrici: nozioni preliminari 2

2 Numeri Complessi 3

3 Polinomi e Teorema Fondamentale dell'Algebra 4

4 Vettori Geometrici e Spazi Vettoriali 6

5 Applicazioni Lineari 10

6 Rango, Matrici e Sistemi Lineari 13

Algebra Lineare e Geometria Denizioni e Dimostrazioni

1 Funzioni e Matrici: nozioni preliminari

Domanda 1.1 Denizione di funzione

Siano e due insiemi. Una funzione di in è individuata da una legge che ad ogni elemento

A B A B

di associa un ben determinato elemento di .

A B

Domanda 1.2 Denizione di immagine di una funzione

L'immagine della funzione è

→

α : A B {α(x) | ∈

Im α = α(A) = x A}.

Domanda 1.3 Denizione di funzione iniettiva

Una funzione è iniettiva se

→

α : A B ∀x, ∈

y A : α(x) = α(y) =⇒ x = y.

Domanda 1.4 Denizione di funzione suriettiva

Una funzione si dice suriettiva se .

→

α : A B Im α = B

Domanda 1.5 Denizione di prodotto di due matrici

Il prodotto delle matrici e è la matrice

∈ × ∈ ×

A = (a ) M (m n, K) B = (b ) M (n p, K)

ij jh

denita da

∈ ×

AB = (c ) M (m p, K)

ih n per ogni

X

c = a b , i = 1, 2, . . . , m, h = 1, 2, . . . , p.

ij

ih jh

j=1

Domanda 1.6 Teorema di invertibilità del prodotto di matrici (e dimostrazione)

Se le matrici sono invertibili, allora anche è invertibile e

∈ ×

A, B M (n n, K) AB

−1 −1 −1

(AB) = B A .

Poniamo , e calcoliamo:

Dimostrazione. −1 −1

X = AB Y = B A

−1 −1 −1 −1

XY = A(BB )A = AI A = AA = I ,

n n

−1 −1 −1 −1

Y X = B (A A)B = B I B = B B = I .

n n

Resta dimostrato che è invertibile e che è la sua inversa.

−1 −1

X = AB Y = B A ■

2

Algebra Lineare e Geometria Denizioni e Dimostrazioni

2 Numeri Complessi

Domanda 2.1 Denizione di campo complesso

L'insieme dei numeri complessi è 2 {(a, | ∈

= = b) a, b

C R R},

e le operazioni si deniscono come segue:

⊕, ⊙ somma: ⊕

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d);

prodotto: ⊙ − ∀a, ∈

(a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc), b, c, d R.

Domanda 2.2 Dimostrazione dell'esistenza degli elementi neutri in C

Si basa sul fatto che è un campo, di cui bisogna vericare che esistano gli elementi

·)

(Q, +,

neutri. Per la somma cerco tale che valga

Dimostrazione. ∈ ∀(a, ∈

(c, d) b)

C C

⊕ ⇐⇒ ⇐⇒

(a, b) (c, d) = (a, b) (a + c, b + d) = (a, b) a + c = a, b + d = b

=⇒ c = 0, d = 0 =⇒ (c, d) = (0, 0).

Per il prodotto cerco tale che valga

∈ ∀(a, ∈

(c, d) b)

C C

⊙ ⇐⇒ −

(a, b) (c, d) = (a, b) (ac bd, ad + bc) = (a, b)

( −

ac bd = a

=⇒ ad + bc = b

da cui, per ogni , si ricava , l'elemento neutro del prodotto.

̸

(a, b) = (0, 0) (c, d) = (1, 0) ■

Domanda 2.3 Dimostrazione dell'esistenza dell'opposto e del reciproco in C

Per ogni esiste l'opposto e, se , esiste il reciproco

∈ −(a, −b) ̸

(a, b) b) = (−a, (a, b) = (0, 0)

C

.

−1

(a, b) , , cerco tale che

Dimostrazione. Esistenza del reciproco. 2 2

∀(a, ∈ ̸ ∈

b) (a, b) = 0 (x, y)

R R

(

−

ax by = 1 −b

a x 1

⊙ ⇐⇒ ⇐⇒

(a, b) (x, y) = (1, 0) = .

b a y 0

ay + bx = 0

−b

a

Poiché (in quanto ), la matrice del sistema è invertibile

2 2 ̸ ̸

det = a + b = 0 (a, b) = (0, 0)

b a

e il sistema ha soluzione unica: a

 

1 2 2

x a b 1 a + b

= = .

 

b

−b

2 2 a 0

y a + b  

− 2 2

a + b

Quindi l'inverso cercato è

a b

−1 −

(a, b) = , . ■

2 2 2 2

a + b a + b

3

Algebra Lineare e Geometria Denizioni e Dimostrazioni

Domanda 2.4 Denizione di modulo e argomento di un numero complesso

Dato , il modulo di è

∈

z = a + ib (a, b z

R) p 2 2

|z|

ρ = = a + b ,

e l'argomento è un qualsiasi tale che valgono

∈

θ R a = ρ cos θ, b = ρ sin θ.

Domanda 2.5 Denizione di coniugato e condizione necessaria e suciente

anché un numero complesso sia reale

Dato , il coniugato di è il numero .

−

z = a + ib z z̄ = a ib

Un numero complesso è reale se, e solo se, .

z̄ = z

Domanda 2.6 Formule di Eulero

iy

e = cos y + i sin y,

−iy −iy

iy iy −

e + e e e

cos y = , sin y = ,

2 2i

x+iy x

e = e (cos y + i sin y) .

Domanda 2.7 Enunciare e dimostrare la formula per il calcolo delle radici -esime

n

di un numero complesso

Sia . Allora l'equazione ha esattamente soluzioni distinte, date da

iθ n

̸

a = ρe = 0 z = a n

√ θ 2kπ )

(

i + −

, k = 0, 1, . . . , n 1.

z = ρ e

n n n

k

Cerco tutte le soluzioni di , con , , . Sia ,

Dimostrazione. n iθ

̸ ∈ ∈ \ {0}

z = a a = 0 a n z = ρe

C N

allora √



( ρ = ρ

n

n

ρ = ρ a



a

n n inθ ⇐⇒ ⇐⇒

z = ρ e φ 2kπ

∈

nθ = φ + 2kπ, k +

θ =

Z  n n

dove . Quindi

iφ

a = ρ e

a √ φ 2kπ )

(

i +

n iφ ⇐⇒ ∈

z = a = ρ e z = ρ e , k

n n n Z,

a a

e, al variare di , si ottengono esattamente soluzioni distinte.

−

k = 0, 1, . . . , n 1 n ■

3 Polinomi e Teorema Fondamentale dell'Algebra

Domanda 3.1 Teorema fondamentale dell'algebra

Data l'equazione di grado nell'incognita complessa

n z

n n−1 · · ·

a z + a z + + a z + a = 0,

n n−1 1 0

dove , , , essa ha almeno una soluzione nel campo complesso.

∈ ̸

a , a , . . . , a a = 0 n > 0

C

n n−1 0 n 4

Algebra Lineare e Geometria Denizioni e Dimostrazioni

Domanda 3.2 Dimostrare, come conseguenza del TFA, che ogni polinomio di

grado a coecienti complessi si scompone nel prodotto di polinomi di primo

n > 0 n

grado (corollario del TFA)

Sia un polinomio di grado a coecienti complessi. Allora esistono e

∈

P (z) n > 0 α , . . . , α C

1 n

tali che

∈ \ {0}

a C

n − − · · · −

P (z) = a (z α )(z α ) (z α ).

n 1 2 n

Sia un polinomio di grado a coecienti complessi ( ).

Dimostrazione. ∈

P (z) n > 0 a , . . . , a C

n 0

Per il TFA esiste tale che . Per il Teorema di Runi esiste di grado

∈

α P (α ) = 0 Q (z)

C

1 1 1

a coecienti complessi tale che

−

n 1 −

P (z) = (z α )Q (z).

1 1

Se , si applica ancora il TFA all'equazione : esiste tale che ,

∈

n > 1 Q (z) = 0 α Q (α ) = 0

C

1 2 1 2

per cui, analogamente, , dove ha grado . Proseguendo per

− −

Q (z) = (z α )Q (z) Q (z) n 2

1 2 2 2

induzione, ha grado , ha grado , e così via, nché si ottiene di

− −

Q (z) n 1 Q (z) n 2 Q (z)

1 2 n−1

grado ... continuando no all'ultimo passo si ottiene una costante . Combinando

n−(n−1) = 1 a n

tutte le scomposizioni si deduce

n − − · · · −

P (z) = a (z α )(z α ) (z α ). ■

n 1 2 n

Domanda 3.3 Dimostrare che se un numero complesso è radice di un polinomio

α

a coecienti reali, anche il coniugato è radice

P (z) ᾱ

Sia a coecienti reali (cioè ). Se

n n−1 · · · ∈ ∈

P (z) = a z + a z + + a z + a a , . . . , a α

R C

n n−1 1 0 0 n

è radice di , allora anche è radice di .

P (z) ᾱ P (z)

Per ipotesi . Allora

Dimostrazione. P (α) = 0 n n−1 · · ·

0 = 0 = P (α) = a α + a α + + a α + a

n n−1 1 0

n n−1 · · ·

= a α + a α + + a α + a

n n−1 1 0

poiché

n n−1 · · · ∈

α + a α + + a α + a ( a =⇒ a = a )

= a R

n−1 1 0 i i i

n = P (α).

Quindi è anch'essa radice di .

α P (z) ■

Domanda 3.4 Teorema: se a coecienti re