Nozioni principali di Fondamenti di algebra lineare e geometria

Nozioni importanti

Numeri complessi

z = a + ib   a = parte reale   b = parte immaginaria

z = a - ib

|z| = ^{|a2 + b2|}

Forma trigonometrica

z = ρ (cos Θ + i sin Θ)   ρ = |z|   a / e = cos x   b / e = sen x

Formula di De Moivre

ρ = ⁿ|z|   ω_k = ⁿ√ρ [cos(_{Θ + 2kπ}ⁿ) + i sin(_{Θ + 2kπ}ⁿ)]

Formula di Eulero

e^iΘ = cos Θ + i sen Θ   Esempio 3eⁱ²⁰ = 3(cos(20) + i·sen(20))

Matrici

Le matrici quadrate sono le uniche per cui si può calcolare il determinante e l'inversa.

Nozioni importanti

Numeri complessi

z = a + ib   a = parte reale   b = parte immaginaria

̅z = a - ib

|z| = √a² + b²

Forma trigonometrica

z = ρ (cosΘ + i senΘ)

ρ = |z|

a / e = cos x

b / e = sen x

Formula di De Moivre

ρ = ⁿ√|z|

ω_k = ⁿ√ρ [cos (Θ + 2kπ/n) + i sen (Θ + 2kπ/n)]

Formula di Eulero

e^iΘ = cos Θ + i sen Θ   Esempio 3e^i2Θ = 3(cos(2Θ) + i sen(2Θ))

Matrici

Le matrici quadrate sono le uniche per cui si può calcolare il determinante e l'inversa.

Proprietà matrici ortogonali

• Se A è ortogonale → A^t è ortogonale
• det A^-1 = ± 1
• Ogni matrice ortogonale è invertibile e la matrice inversa è ancora una matrice ortogonale
• A^⊥ B^⊥ = C^⊥
• Gli autovalori valgono modulo di 1

Proprietà matrici triangolari

1. Il rango è uguale al numero di elementi non nulli sulla diagonale
2. Il det. è uguale alle molt. dei valori sulla diagonale
3. Gli autovalori corrispondono ai numeri sulla diagonale

Teorema di Rouché-Capelli

Il sistema ha soluzioni sse rg A = rg (A|b)

Il numero di soluzioni è dato da ∞ ^n-rg

• n = n° incognite
• rg = rango della matrice

Sottospazio vettoriale

Tutte le equazioni che definiscono un sottospazio vettoriale devono essere lineari e omogenee.

Somma diretta

V = U ⊕ W ⟺ {

• U + W = V
• U ∩ W = {o_V}

}

Ker f, Im f e relazione con rg

• Un endomorfismo f: ℝⁿ → ℝⁿ è suriettivo è necessariamente iniettivo
• In generale in un'applicazione lineare dim Im = rg A con A la matrice associata ad f
• Nelle applicazioni lineari vale questa regola

1. dim V = dim W ⇒ l'applicazione lineare è iniettiva sse è anche suriettiva
2. dim V < dim W ⇒ l'applicazione lineare NON è suriettiva
3. dim V > dim W ⇒ l'applicazione lineare NON è iniettiva

Polinomio caratteristico

Data A la matrice associata ad un'applicazione lineare, il suo polinomio caratteristico è definito

P_A(λ) = det(A - λ Id)

Proprietà

Il P.C. associato a una matrice di ordine n è un polinomio di grado n.

Due matrici simili hanno lo stesso P.C.

Una matrice quadrata e la sua trasposta hanno lo stesso P.C.

Autovalori e autovettori

L'autovalore è il/i numero che permette di annullare il polinomio caratteristico.

L'autovettore unisce è il vettore associato al rispettivo autovalore.

Il prodotto degli autovalori di una matrice è uguale al determinante della matrice.

Molteplicità algebrica e geometrica

La somma delle m.a. degli autovalori non può mai essere superiore all'ordine della matrice, deve essere uguale nel caso di matrice diagonalizzabile.

1 ≤ mg(α_i) ≤ mg_αi ≤ n

Vettori ortogonali

Dati due vettori u,v∈ℝⁿ sono ortogonali sse u ⋅ v = 0_v

Norma di un vettore

u = ( x y z )

‖u‖ = √(x² + y² + z²)

Prodotto vettoriale

u = ( x y z ) v = ( x' y' z' )

u ⋅ v = x ⋅ x' + y ⋅ y' + z ⋅ z'

Geometria affine

Dimensioni

Punto: {P} dim {P} = 0

Retta: P + dim r = 1

Piano π: P + dim π = 2

Posizione di 2 rette in ℝ²

r: ax + by = c

s: a'x + b'y = c'

A = ( a b ) ( a' b' )

(A|b) = ( a b | c ) ( a' b' | c' )

1. rg A = rg (A|b) ⟹ r = s = r ∩ s
2. rg A = 1 rg (A|b) = 2 ⟹ disgiunte
3. rg (A) = rg (A|b) = 2 ⟹ r ed s m' intersecano in {P} sono incidenti

Posizione reciproca di 2 piani in ℝ³

π₁: ax + by + cz = d

π₂: a'x + b'y + c'z = d'

A = (A|b) =

1. rg A = rg(A|b) = 1 → Piani coincidenti
2. rg A = 1, rg(A|b) = 2 → Piani paralleli disgiunti
3. rg A = rg(A|b) = 2 → Piani incidenti in una retta

Posizione reciproca di un piano e una retta in ℝ³

π: ax + by + cz = d

r:

A = (A|b) =

1. rg A = rg(A|b) = 2 → r ⊂ π

Posizione reciproca di 2 rette in IR³

1. rg A = rg (A|b) = 2 ⇒ rette coincidenti
2. rg A = 2, rg (A|b) = 3 ⇒ rette // disgiunte
3. rg A = rg (A|b) = 3 ⇒ rette incidenti, in P
4. rg A = 3, rg (A|b) = 4 ⇒ rette sghembe

Posizione reciproca di 2 piani in IR³

π₁: ax + by + cz = d

π₂: a'x + b'y + c'z = d'

A = ( abca'b'c' )

(A|b) = ( abcda'b'c'd' )

1. rg A = rg (A|b) = 1 ⇒ Piani coincidenti
2. rg A = 1, rg (A|b) = 2 ⇒ Piani paralleli disgiunti
3. rg A = rg (A|b) = 2 ⇒ Piani incidenti, in una retta

Posizione reciproca di un piano e una retta in IR³

π: ax + by + cz = d

r: { a'x + b'y + c'z = d' a"x + b"y + c"z = d"}

A = (A|b) =

1. rg A = rg (A|b) = 2 ⇒ r ⊆ π
2. rg A = 2 rg (A|b) = 3 ⇒ r e π sono disgiunti
3. rg (A) = rg (A|b) = 3 ⇒ rn π = {P}

Posizione reciproca di 2 rette in ℝ³

1. rg A = rg (A|b) = 2 ⇒ rette coincidenti
2. rg A = 2, rg (A|b) = 3 ⇒ rette // disgiunte
3. rg A = rg (A|b) = 3 ⇒ rette incidenti in P
4. rg A = 3, rg (A|b) = 4 ⇒ rette sghembe

3 punti allineati

P₁, P₂, P₃ sono allineati sse:

P₁ + <P₂-P₁, P₃-P₁> ha dim = 1

Fasci di piani

Π: 2x - y + z = 8

Tutti i piani // a Π ⇒ Θ: 2x - y + z = k

Fascio di piano al sostegno una retta

^{{ x + 2y - 8z = 5 2x - z = 1 }}

Π: ax + by + cz = d

Quando γ ⊆ Π

α(eq₁) + β(eq₂) ⇒ α(x + 2y - 8z - 5) + β(2x - z - 1) = 0

Rette ortogonali

Due rette r: R+ <Vr> ed s: S+<Vs>

Con Vr, Vs ≠ 0 v si dicono ortogonali se Vr.Vs = 0

Piani ortogonali

2 piani Π₁: a₁x + b₁y + c₁z = d   Π₂: a₂x + b₂y + c₂z = d₂

Si dicono ortogonali se ^{(a   a₂   0) (b   b₂   0) = (0) (c   c₂   0)}

Distanze in R²

Punto-Punto d(P,Q) = ||Q-P||

Punto-Retta P, r

1. Se P ∈ r d(P, r) = 0
2. Se P ∉ r P = ^(P₁) _(P2) e r = ax+by=c

d(P, r) = ^{|aP₁ + bP₂ - c|} √_{a² + b²}

Distanze e P.M.D fra S.L. in R³

Punto-Punto P, Q d(P,Q) = ||Q-P||

C.M.D. = (P,Q)

Punto-Piano

P = ^(P₁) _(P2) P₃

π: ax+by+cz=d

d(P, π)= ^{|aP₁ + bP₂ + cP₃ - d|} √_{a² + b² + c²}

C.M.D = (P,H) con {H} = t ∩ π

Piano-Piano

_π1,_π2

1. Se _π1 ∩ _π2 ≠ ∅   d(_π1,_π2)=0

Una C.M.D = (P, P)

Tutte le C.M.D = (P+v, P+v) con v &in; V_π1 ∩ V_π2

2. Se _π1 ∩ _π2 = ∅ allora _π1 ∥ _π2 cioé V_π1 = V_π2

d(_π1,_π2) = d(P₁,_π2) con P₁ &in; _π1

Tutte le C.M.D = (P₁+v, H+v)

{H} = t₁ ∩ _π2

Retta-Piano

1. Se r ∩ _π ≠ ∅   d(r,_π)=0   C.M.D = (P, P)

2. Se r ∩ _π = ∅ ⇒ r ∥ _π disgiunte

d(r,_π) = d(R, H_R) com R ε r punto della retta r

C.M.D = d(R, H_R) con R ε r e H_R ε t_R ∩ _π

Punto - Retta

C.M.D= (P,H) con H = r n π

d(P,r) = d(P,H)

Retta - Retta

r,s

1. Se r ∩ s ≠ Ø d(r,s) = 0 C.M.D = d(CP,P) P∈r∩s
2. Se r ∩ s = Ø ⇒ r // s

d(r,s) = d(R,s) = d(R,H)

Tutte le C.M.D sono (R + s, H + r)

Rette sghembe

r: R + s: S +

d(r,s) = d(R,π) con π piano contenente se // ad r

La C.M.D. (R̅, S̅) con R̅ ∈ r e S̅ ∈ s

Rα = R + α Vr

Sβ = s + b · Vs

Proiezione ortogonale

Punto su una retta

{H} = l ∩ t con t = P + V_t^⊥

Retta su piano

P_Π(t) = Π ∩ Θ con Θ: P + < V_t + V_Π^⊥ >

Punto su retta

P_r(P) = r ∩ Θ con Θ = P + < V_r^⊥ >

Test online

1. Se una matrice A ∈ M_4,9(ℝ) ha 2 autovalori reali e distinti, uno dei quali con m_g = 3 allora A è diagonalizzabile?

Risposta

La matrice ha 2 autovalori λ₁ e λ₁

λ₁ ha m_g = 3

Per la relazione

1 ≤ mg ≤ ma ≤ 9

Possiamo capire che la 3 ≤ ma ≤ 9

Però deg(P_A(λ)) = 9 di conseguenza ma non può essere 9 perché annullerebbe tutti i valori andandolo a togliere il secondo autovalore.

λ₁ ma = mg = 3

λ₂ ha ma = 1 e per la relazione

1 ≤ mg ≤ ma ≤ 4

Per forza mg = 1

λ₂ ma = mg = 1

A è diagonalizzabile

2. Date f, g endomorfismi definiti da ℝ² → ℝ³

È vero che se Ker f = Ker g allora Im f = Im g

Risposta

Bisogna ricordare che Ker e Im sono due sottospazi vettoriali, di conseguenza ne hanno la stessa dim. allora sono uguali (a meno di un isomorfismo).

dim V = dim Ker f + dim Im f

Dato che f,g: ℝ³ ➝ ℝ³ (endomorfismi) ⇒ Ker f = Ker g

Per il T. delle dimensioni:

dim Im f = 3 - dim Ker f ed im Im g = 3 - dim Ker g

⇒ dim Im f = dim Im g

Quiz risposta multipla

1. Sia A ∈ M_n(ℝ) una matrice con rg(A) < n. Allora:
   • Le righe di A sono L.D.
   • A non è invertibile
   • A non è diagonale

Risposta

a) Vero perché se rg A < n vuol dire che c'è una riga nulla => l.d.

Esempio A = ( 1 0 0 ) ( 0 0 0 ) ( 0 0 0 )

b) Vero perché A ha una riga nulla => det A = 0 di conseguenza non è invertibile

c) Falso

A = ( 1 0 0 ) ( 0 1 0 ) ( 0 0 0 )

matrice diagonale di ordine 3 con rg A = 2

1. Sia S un sistema lineare impossibile. Allora S:

• Ha più equazioni che incognite
• Non è omogeneo
• Il rango della matrice incompleta è minore di quella completa.

Risposta

a) Falso non è una condizione che permette di capire se un sistema ha soluzioni.

Es: { x + y = 1 x + y = 0 n° eq = n° incognite ma è impossibile

b) Falso. Ogni sistema lineare omogeneo ammette sempre soluzioni.

c) Vero rg A = rg (A|b) condizione necessaria per il T. di Rouché-Capelli

○ ------ ○ ------ ○

3. Siano A, B ∈ Mₙ(ℝ) matrici simili. Allora:
   • rg A = rg B
   • det A = det B
   • P_A(x) = P_B(x)

Risposta

a, b, c) Vero tutte e tre sono condizione necessarie perché 2 matrici siano simili.

Quiz online

1. Sia A una matrice simmetrica reale. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
   • Due autospazi di A sono sempre ortogonali.
   • Due autovettori distinti di A sono sempre ortogonali.
   • Due autovalori di A sono sempre positivi.

Risposta

1. Gli autospazi di una matrice simmetrica reale sono a due a due ortogonali.

Siano A e B due matrici quadrate tra loro simili. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

• Le matrici A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico.
• Le matrici A e B sono diagonalizzabili.
• Se A è diagonalizzabile allora B è diagonalizzabile.

Risposta

1 e 3 sono vere la 3 è una diretta conseguenza della prima.

La 2 è falso per esempio

A = ^{(1 0)}_{(0 1)} e B = ^{(1 1)}_{(0 1)}

Sono simili ma non sono diagonalizzabili.

3. Le rette r: ^{y + 2z = 4} 2x - y + z + 3 = 0

s: ^{x - y + 3 = 0} x + z = 0

sono:

• Parallele
• Incidenti
• Sghembe

Soluzione

A = ^{(2 -1 1 | -3)(1 -1 0 | -3)(0 1 2 | 4)}_{(1 0 1 | 0)} riduco con Gauss

A = ( 0 1 0 | 3 ) ( 1 -1 0 | -3 ) ( 0 1 2 | 4 ) ( 0 -1 0 | -3 )

A = ( 1 -1 0 | -3 ) ( 0 1 0 | 3 ) ( 0 0 2 | 1 ) ( 0 -1 0 | -3 )

A = ( 1 -1 0 | -3 ) ( 0 -1 0 | -3 ) ( 0 0 2 | 1 ) ( 0 0 0 | 6 )

rg A = 3 rg (A|b) = 4

r ed S sono sghembe

1. Si considerino i vettori v₁ = (1 1) v₂ = (1 2) e v₃ = (2 1)

Si indichi l'affermazione corretta:

• I vettori {v₁, v₂, v₃} sono lin. ind.
• v₁ + v₂ = λ·v₃ per qualche λ ∈ ℝ
• <v₁, v₂, v₃> = ℝ³
• λ₁·v₁ + λ₂·v₂ = v₃ per qualche λ₁, λ₂ ∈ ℝ

I vettori sono lin. dip. La soluzione è la d.