Fondamenti di Algebra Lineare e Geometria - Appunti

Fondamenti di algebra lineare e geometria

Appunti tratti dalle lezioni del prof. Bruno Chiarellotto

Alessandro Ramon

Indice

• Numeri complessi 1
• Spazi vettoriali 7

Dai naturali ai complessi

In ℕ, si hanno l'operazione somma “+” e l'operazione prodotto “⋅”.

Esse sono commutative: {a+ b=b+ aa⋅b=b⋅ae associative: { a+b)+c=a+(b( +c)=b+(a+c )(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c )=b⋅(a⋅c)

Definizione: In ℕ vi è un elemento neutro per la somma:ℕ a ,∃b∈ℕ∣ a+b=a b=0∀ ∈ℕ ed esiste un elemento neutro neutro per la somma:a ,∃b∈ℕ∣ a⋅b=a b=1∀ ∈ℕ a ,∄d a+b=0

Primo limite di ℕ: ∀ ∈ℕ ∈ℕ∣ℕ

Si introducono quindi i numeri interi ℤ.

In ℤ, somma e prodotto sono abeliane e commutative, come in ℕ, esistono i relativi elementi neutri, e ogni elemento ammette opposto.

a ,∃d a+b=0 b=−a∀ ∈ℕ ∈ℕ∣a ,∄d a⋅d

Limite di ℤ: ∀ ∈ℕ ∈ℕ∣ =1

Si introducono quindi i numeri razionali ℚ.

In ℚ, somma e prodotto sono abeliane e commutative, come in ℕ, esistono i relativi elementi neutri, ogni elemento ammette opposto, e ogni elemento ammette reciproco:

1a ,∃d a⋅b=1 b=∀ ∈ℕ ∈ℕ∣ a

Definizione: Un insieme in cui somma e prodotto siano abeliane, in cui esistano i relativi elementi neutri e in cui ogni elemento ammetta opposto e reciproco è denominato “campo”.

2 2 √Limite di ℚ: L'equazione non ammette sempre soluzione! (es. )x x x=± 2∉ℚℤ =a =2⇒

Si introducono quindi i numeri reali ℝ.

In ℝ, somma e prodotto sono abeliane e commutative, come in ℕ, esistono i relativi elementi neutri, ogni elemento ammette opposto, e ogni elemento ammette reciproco.

Inoltre, è ora possibile risolvere equazioni che implichino l'utilizzo di numeri al di fuori di ℚ, 2ma anche ha un limite: un'equazione del tipo non è risolvibile in ℝ!x a>0ℝ ℝ=−a

Si introduce, quindi, l'impiego dei numeri complessi ℂ.

Capitolo 1

Numeri complessi

I numeri complessi sono coppie ordinate di numeri reali:a≠b a , b)≠( b , a)⇒(

Come si svolgono le operazioni di somma e prodotto in ℂ?

, b)+( c , d , b+dAddizione: (a )=(a+c )

, b)⋅(c , d , ad+ bc)Moltiplicazione: (a )=(ac−bd

L'elemento neutro per la somma è (0,0), l'elemento neutro per il prodotto è (1,0).

Ogni numero complesso ammette opposto:, b)+( c , d , d)=(−a ,−b)(a )=(0,0)⇔(ce reciproco: 1 a b, b)⋅(c , d , d)= ,−(a )=(1,0)⇔(c =( ), b) 2 2 2 2(a a a+b +b

1 7 5 7 5,− ,−Esempio: =( )=( )74 742 2 2 2(7,5) 7 7+5 +5 , 0)

N.B: Ogni numero reale è una coppia ordinata !(r2

Domanda: Vale quindi un'equazione del tipo ?x a>0=−a , b)

Se x è un numero complesso, esso si descrive nella forma .(a2, b)

Esiste dunque un numero tale che valga ?, b)(a (a =−12 2 2, 2 2

Ma : è quindi evidente che può, b) a ab+ab)=(a , 2 ab)=(−1, 0)(a =( −b −b, b)=(0,1)=i essere solo .(a

La prima coordinata di un numero complesso è la sua componente reale, mentre la sua seconda coordinata è la sua componente immaginaria: un numero complesso si può quindi esprimere nella forma , b)=a+b⋅i(a2

Esercizio: Risolvere l'equazione x x+ +1=00

Poiché vale , l'equazione dovrà essere risolta in ℂ.Δ=1−4=−3< ℂ√ 3 i−1±√ 2√ √

Varrà quindi .3 i 3 i xΔ= −3= = ⇒ =√ 1 , 2 2

Introduciamo, dunque, il teorema fondamentale dell'algebra:

Teorema: Per ogni polinomio P(x) a coefficienti complessi di grado n, esistono n soluzioni dell'equazione P(x) = 0

Notazione trigonometrica

Poiché ogni numero complesso è una coppia ordinata di numeri reali, esso è rappresentabile in un piano, detto piano di Argand – Gauss, ed esprimibile secondo una funzione trigonometrica:

a b√ √2 2 2 2, b)= a a b cos , senα)(a +b ( +i⋅ )= + (cosα +i⋅sen α)=ρ( α√ √2 2 2 2a a b+b +

Vale, quindi, l'uguaglianza:, sen k sen 2 kρ(cos α α)=ρ(cos (α+2 π), (α+ π))

Esercizio: Trasformare il numero (7,5) in forma trigonometrica.

7 5 7 5√ 5 2 √i= 7 , 74 ,(7,5)=7+5 +5 ( )= ( )√ √ √ √5 2 5 2 74 747 5 7+ +5

Come si svolge il prodotto tra complessi nella forma trigonometrica?

Il calcolo avviene secondo il metodo:, b)⋅(c , d cos i⋅sen i⋅sen(a )=ρ ( α+i⋅sen α)⋅ρ (cos β+ β)=ρ ⋅ρ [cos (α+β)+ (α+β)]1 2 1 2

Esercizio: Trasformare il numero 1+i√ 3+i in forma trigonometrica.

1+i −1√ 3+i)Osservo: =(1+i)⋅(√ 3+i √

Esiste, dunque, un numero che sia il reciproco di :3+i√ 3 i π π√ , da cui3+i)=2( ( + )=2(cos +i⋅sen )2 2 6 6

π π2(cos x .+i⋅sen )⋅ρ (cos +i⋅senx)=1x6 6

π π π πMa 2(cos x x x)]=1 .+i⋅sen )⋅ρ (cos +i⋅senx)=2ρ [cos ( + )+i⋅sen ( +x x6 6 6 61

Poiché , deve valere necessariamente , e quindi dovrà valere ρ =−1≤cos α≤1 x 2π πx=0 x=− necessariamente anche .+ ⇒6 6

Varrà quindi la relazione:1+i 1 1π π −π −π π π√ 2(cos cos( . . .== +i⋅sen )⋅ ( )+i⋅sen( ))= (cos +i⋅sen )4 4 2 6 6 12 12√ √3+i 2

z=a+i⋅b z=a−i⋅b

Definizione: Dato un numero complesso , il suo coniugato è .

z=ρ(cos senβ) z=ρ(cosβ,−senNella forma trigonometrica, ,β, β)2

Osservo: z⋅z=ρ n

Esercizio: Risolvere l'equazione x =z n n nz=ρ(cos i⋅sen

Soluzione: Pongo e , daxα+ α) =[t (cos β+i⋅sen β)] =t [cos (n β)+i⋅sen (n β)] cui ottengo l'equazione:

nt cos(nβ)+i⋅sen(nβ))=ρ(cos( α+i⋅sen α)

kα+2 πn√ k ... , n−1si ha quindi: e , con .t β= =0,1,= ρ n3

Esempio: x =1

3 3 31=(cos 0+i⋅sen 0)Poiché e ,x cos cos 3 3=[ρ( δ+i⋅sen δ)] =ρ ( δ+i⋅sen δ)

dovrà valere: 0+2 k π3√ k 21 e , conδ= =0,1,ρ= 3 { x cos 0+i⋅sen 0)=(1,0)=(1 √2 2

1 3π πx i⋅sen ,=(cos + )=(− )2 3 3 2 2 √

4 4 1 3π πx cos ,−=( +i⋅sen )=(− )3 3 3 2 22

Esercizio: Risolvere l'equazione x x+2 +i=0

√ 4−4 i−2+ Δ −2+√ √Soluzione: Risolvendo, si ottiene x 1−i= = =−1+1 , 2 2 2√

Trovo, quindi, le soluzioni dell'equazione :t= 1−i2√t= 1−i⇒ t =1−i=(1,−1)1 i 7 7π π 2 2√ √2( 2(cosma e ,t 2α 2(1,−1)= − )= +i⋅sen ) =ρ (cos +i⋅sen α)4 4√ √2 2

perciò si ha { 7 7π π4√t 2 , sen= (cos )1 8 8

15 15π π4√t 2(cos , sen= )2 8 8

da cui si ottiene { 7 7π π4√x 2(cos , sen=−1+ )1 8 8

15 15π π4√x 2( cos , sen=−1+ )2 8 8

3 √Esercizio: Risolvere l'equazione 3−i(z−i) = 7 7π π3 √x 3−i=2(cosz−i=x

Soluzione: Pongo , da cui . Si ottiene quindi:= +i⋅sen )4 4

{ 7 7π π3√x 2 , sen= (cos )1 12 12

5 5π π3√x 2(cos , sen= )2 4 4

23 23π π3√x 2 , sen= (cos )3 12 12

da cui si ricava { 7 7π π3√z 2 , sen= (cos )+i1 12 12

5 5π π3√z 2(cos , sen= )+i2 4 4

23 23π π3√z 2(cos , sen= )+i3 12 12

Notazione esponenziale

Un numero complesso può anche essere descritto come una funzione esponenziale:i⋅βz=( a , b)=ρ(cosβ , sen β)=ρ⋅e

Il calcolo nella forma esponenziale diventa:{ i⋅Γ i⋅Ω i(Γ +Ω)z⋅c=ρ⋅e ⋅μ⋅e =ρ⋅μ⋅e

3 i⋅Ω 3 3 3 i Ωz e=(ρ⋅e ) =ρ2

Esercizio: Trovo z∈ℂ z∣ =zz∈ℂ z=(x , y i⋅y x+ i⋅y)( x

Soluzione: : pongo dunque .⇒ )=x+ ( +i⋅y)=x−i⋅y2 2

Ma : eguaglio dunque le parti reali e le parti x y(x+i⋅y)( +i⋅y)=x − +2i⋅xy immaginarie: { {2 2 2 2x y x y− =x − =x⇒2 i⋅xy y x+1)=0=−i⋅y (2y=0

Per , si ha : {{ 2 2x x−x=0 −x=x (x−1)=0 z=(1,0)∨z=(0,0)⇒ ⇒y=0 y =01x=−

Per , si ha:2{ {1 1 32 2y y− =− = √ √1 3 1 34 2 4 z=(− , ,−⇒ ⇒ )∨z=(− )2 2 2 21 1x=− x=−2 2 2

Si hanno, quindi, quattro soluzioni per l'equazione .z =z2

Osservo: L'equazione è a tutti gli effetti un'equazione di grado 2, ma ha 4 soluzioni!z =z

Il coniugio, infatti, non funziona come una normale equazione.

Capitolo 2

Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale è un insieme V di vettori a cui sia associata un'operazione: (V, +) tale che l'operazione sia abeliana e associativa, in cui vi sia l'elemento neutro e ogni elemento abbia opposto.

Questo implica che in uno spazio vettoriale deve valere il seguente sistema:{ v v v+ =v +1 v 2 2 v 1v v v v v( + )+ =v + (v + )=v + (v + )1 v 2 v 3 1 v 2 v 3 2 v 1 v 30∃0 ∈V∣v + =vv v vw∈V∣v w=0∃ + v v

In uno spazio vettoriale, inoltre, deve essere possibile l'azione dei numeri reali:{ 1⋅v=v(α⋅β)⋅v=(α⋅v )⋅βv vα(v + )=α + α⋅v1 v 2 1 v 2v=α v v(α+β) + βv

Domanda: L'elemento neutro è unico? 0 '

Per assurdo, suppongo che esista un secondo elemento neutro .vv 0 0 '

Si ha quindi, , ma per definizione di elemento neutro:+ =v=v +v v v v{0 ' 0 '+ =0v v v v0 0 '+ =0v v v v0 '=0 ' 0 0 ' 0 '=0

da cui si ricava: , dunque .+ =0 + =0v v v v v v v v v v0

Soluzione: è il solo elemento neutro!v v v=v

Domanda: Esiste un vettore ?∈V ∖{0 }∣v +v v

Per assurdo, suppongo che possa esistere tale vettore.0 0 w=0 v)+ w=(v w=0

Poichè e , pongo , da+ =0 ∃w∈V∣v + (v + )+v v v v v v v v v vv w)=0 v cui : deve valere, quindi, .+ (v + =0v v v vv

Soluzione: .∄v ∈V ∖ {0 }∣v + =vv v 0⋅v

Domanda: A cosa è uguale ? E ?α⋅0 v

0⋅v=(0+0)⋅v=0⋅v 0⋅v 0⋅v=0+ ⇒v v0

α⋅0 =α⋅(0 + )=α⋅0 + α⋅0 ⇒α⋅0 =0v v v v v v v v v0⋅v=0

Soluzione: α⋅0 =0v v v

Domanda: A cosa è uguale ?β⋅v + (−β)⋅vv

β⋅v + (−β)⋅v=[β+(−β)]⋅v=0⋅v =0v v

Soluzione: β⋅v + (−β)⋅v=0v v

Si osserva spesso che nel mondo fisico la relazione tra causa ed effetto non è biunivoca.

Si pensi, ad esempio, a una partita di biliardo: come si può vedere nell'esempio, azioni diverse portano ai medesimi risultati.

È legittimo, quindi, porsi la seguente domanda: v=β v

Domanda: Dato un certo scalare e un qualsiasi vettore v, esiste ?α≠β∣αβ v=βv

Utilizzo il risultato appena ottenuto - : se vale , allora β⋅v + (−β)⋅v=0 αv vv v v v deve valere necessariamente anche .α + (−β )=β + (−β )v vv v

Si ottiene, dunque, : poiché , posso dividere per α + (−β )=(α−β)v=0 α≠βv vα−β, da cui si ottiene .v=vα−β =0 vα−βv v v

Soluzione: Per ,≠0 ∄α≠β∣α =βvv v=βv

Per ,=0 α ∀ α∈ℝv

Definizione: Considero uno spazio vettoriale (V, +) contenente un solo vettore v.

Poichè V è uno spazio vettoriale vale il sistema{ v v=v+vv v=v v(v + )+ + (v + )=vv v v vα⋅v=vα⋅β⋅v=( α⋅β)⋅v=vv

Tutto ciò può valere solo per !=0 v

Si ricava, dunque, che uno spazio vettoriale contenente un solo vettore è lo spazio vettoriale nullo .{0 }v

Matrici

Una matrice M è una tabella ordinata di n x m numeri reali:∈ (ℝ)n x m( )

Esempio: M 3 2 5=1 x 3 M

Per n = m, si hanno le cosiddette matrici quadrate (ℝ)n( )

1 7Esempio: M =2 4 5 M n∈ℕ , m∈ℕ

L'insieme delle matrici è uno spazio vettoriale!(ℝ) ∀ ∀n x m

Per la somma, valgono le seguenti proprietà:{ A B=B A+ +m mA B)+ C= A C)=B A C)( + + (B + + ( +m m m m m m0 O A∃ ∣A + =m m mB=0 B={b∃B∣A + }={−a }m m ij ij

Nello spazio delle matrici, inoltre, è possibile l'azione dei numeri reali:{ 1⋅A= A(α⋅β)⋅A=(α⋅A )⋅βA B)=α Aα( + + α⋅Bm mA=α A A(α +β) + βm

Lo spazio delle matrici è, dunque, uno spazio vettoriale! nM

N.B: Lo spazio delle matrici è equivalente allo spazio vettoriale .(ℝ)/M (ℝ) ℝn x 1 1 x n0

Esercizio: Dimostrare che l'insieme - l'insieme delle funzioni continue C 1])([0,ℝf :[0,1]→ℝ è uno spazio vettoriale.

Soluzione: Poiché valgono le leggi degli spazi vettoriali per la somma{ 0f g 0,1])+ ∈C ([ℝcf g)+ h=f h)=g f h)( + + (g + + ( +c c c c c cO∃0 =0∣f + =fc c cg=0 g=−f∃g∣f + c c

e per il prodotto { 1⋅f =f(α⋅β)⋅f =(α⋅f )⋅βg)=α fα(f + + α⋅gc cA f(α +β)f =α + βc0

Si deduce che è uno spazio vettoriale.C 0, 1])([ℝ

Domanda: Quando un sottoinsieme di vettori è un sottospazio vettoriale?

Se un sottoinsieme è un sottospazio, esso dovrà essere uno spazio vettoriale dotato delle operazioni indotte dallo spazio che lo contiene.

Domanda: Dati (V, +) e T ≤V, T è uno spazio vettoriale con le operazioni di V?

T è un sottospazio di V se in esso valgono le proprietà degli spazi vettoriali per le operazioni indotte da V.

N.B: T ≤V ⇒ 0 ∈Tv: ogni sottospazio contiene l'elemento neutro dello spazio che lo contiene!

Esempio 1: In ℝ2, considero . C è un sottospazio vettoriale?C={( x , y yℝ )∈ℝ ∣x + =1}2 2 2 2

Risposta: No: l'elemento neutro non è contenuto in C!

Esempio 2: In ℝ2, considero .T x , y yℝ ={( )∈ℝ ∣x − =0}2

Risolvendo si ottiene T x , y y∨x=−y={( )∈ℝ ∣x= }2

L'elemento neutro è contenuto in T, ma la somma non avviene sempre in T!

es. (1,−1)+ (1,1)=(2,0)∉T

T, dunque, non è uno spazio vettoriale!

Metodo di verifica

Possiamo, dunque, introdurre un “tester” T:

Dati (V, +) e T ≤V, T è un sottospazio se:

• Pre Test - 0 ∈Tv
• T 1 - ∀ t ,t ,(t t1 + )∈T1 2 1 T 2, t∈T
• T 2 - ∀ λ∈ℝ ∀ λ4 4

Esercizio: In ℝ4, considero S={( a ,a , a , aℝ )∈ℝ ∣a −a =0∧a =2⋅a }1 2 3 4 1 4 2 3

Soluzione:

Applico il tester: 0Pre Test - :(0,0,0,0)∈S −0 =0∧0 =2⋅01 4 2 3 , 2β ,β ,