Equazioni 1°, 2°, parametriche, di grado superiore: [math]\frac{{{x}-{4}}}{{{x}+{1}}}+\frac{1}{{{x}-{3}}}={2}{x}+\frac{28}{{3}}[/math]

Esercizio svolto: equazione fratta

Francesco Daddi - 1 ottobre 2009

Esercizio 1

Risolvere l’equazione:

x − 1 28 4 x
+ = 2 +
x x −
+1 3 3.

Soluzione. x ≠ −1, x ≠ 3.

Il dominio dell’equazione è x ≠ −1, x ≠ 3.

Portiamo tutti i termini a sinistra:

x − 1 28
4 − x −
+ 2 = 0;
x x −
+1 3 3

Scriviamo tutto con un unico denominatore:

3(x − 3)(x − 4) + 3(x + 1) + 3(x + 1)(x − 3)(−2) + (x + 1)(x − 3)(−28) = 0

−

3(x + 1)(x − 3)

Svolgendo e semplificando otteniamo:

−6x³ − 13x² + 56x + 123

= 0

−

3(x + 1)(x − 3)

−6x³ − 13x² + 56x

Studiamo ora le radici del polinomio −6x³ − 13x² + 56x + 123; si osserva che una radice del polinomio è

x = −3 (accettabile), per cui è possibile effettuare la divisione polinomiale:

−6x³ − 13x² + 56x + 123 = (x + 3)(−6x² + 5x + 41);

A questo punto determiniamo le soluzioni dell’equazione

−6x² + 5x + 41 = 0:

⎧ a = −6

⎪

⎨ b = 5

⎪

⎩ c = 41

Δ = b² − 4 · a · c = (5)² − 4 · (−6) · 41 = 1009

x = −b ± √Δ / 2 · a

x_2,3 = (−5 ± √1009) / (−12) = (5 ∓ √1009) / 12;

x = (−5 + √1009) / (−12) = (5 − √1009) / 12

x = (−5 − √1009) / (−12) = (5 + √1009) / 12

Si osservi che anche questi valori sono accettabili.

In definitiva, le soluzioni dell’equazione iniziale sono

x₁ = −3; x₂ = (5 − √1009) / 12 ≈ −2.2304; x₃ = (5 + √1009) / 12 ≈ 3.0637.