Vettori (3)

I vettori

Lo spostamento sul piano o nello spazio di un oggetto viene rappresentato mediante un vettore, come la forza. Nota che uno spostamento tra due punti A e B del piano è caratterizzato da tre proprietà:

• la direzione, cioè la retta a cui appartengono i punti A e B;
• il verso, che può andare da A a B o da B ad A;
• il valore, cioè la distanza AB.

Se consideriamo una forza, che può essere descritta mediante un vettore, il suo «valore» si chiama anche «modulo» o «intensità».

Riassumendo:
I vettori rappresentano grandezze fisiche che hanno una direzione, un verso, un valore e che si sommano con la regola del parallelogramma (o quella, equivalente, detta punta-coda).
Consideriamo due vettori a e b, vediamo ora come si sommano.

Con il metodo del parallelogramma:

- Si trasla uno dei due vettori (per esempio a) in modo che abbia la coda dove inizia il vettore b.
- Si disegna il parallelogramma che ha come due lati consecutivi e due vettori a e b.
- Il vettore somma c = (a+b), avrà la coda coincidente con la coda dei vettori av e bv e la punta nel vertice opposto.

Con il metodo punta-coda:

- Si trasla uno dei due vettori (per esempio a) in modo che abbia la coda sulla punta del vettore b.
- Il vettore somma c = a+b avrà la coda dove inizia bv e la punta sulla punta di a.

Come si vede, con i due metodi si ottiene lo stesso risultato. Oltre alla somma, sui vettori possiamo definire altre operazioni:

- il prodotto di un vettore per un numero;
- la differenza tra vettori;
- la scomposizione di un vettore lungo due direzioni.

• ha la stessa direzione di av;
• ha lo stesso verso di av se k è positivo, verso opposto se k è negativo;
• ha un modulo uguale a quello di av, moltiplicato per il valore assoluto di k.

Per esempio, la figura a lato mostra il vettore av e il vettore ba
2 v =-3 v (k 5 2 3/2);
secondo la definizione, bv ha la stessa direzione di av, verso opposto perché k è negativo e un modulo che è dato da quello di av, moltiplicato per 3/2. Come caso particolare, è importante il vettore 2av (opposto di av), che ha la stessa direzione e lo stesso modulo di av, ma verso opposto.

Differenza di vettori
La differenza tra due vettori a e b è la somma del vettore a con il vettore -b:
a - b = a + (-b)

Scomposizione di un vettore
Dato un vettore a e due rette r e s, non parallele tra loro, è possibile determinare due vettori ar e as , il primo parallelo a r e il secondo parallelo a s, la cui somma vettoriale sia a = ar + as
I vettori ar e as si chiamano vettori componenti di a lungo le rette r e s. In pratica:

- Consideriamo un vettore a e scegliamo due direzioni, definite dalle rette r e s.
- Dalla punta di a tracciamo due segmenti paralleli alle due rette.
- In questo modo definiamo i due vettori ar uguale ad a e as , la cui somma è
a = ar + as