Temperatura e calore - Terzo esercizio

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di Anthrax606
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Scopri come risolvere un problema di fisica riguardante la dilatazione termica di un tondo di rame e un foro di alluminio. Analizzeremo le temperature necessarie per ottenere diametri uguali e valuteremo quale operazione sia più conveniente.

Concetti Chiave

  • Il problema si concentra sull'introduzione di un tondo di rame in un foro più piccolo, senza modificarne le dimensioni.
  • Per risolvere il problema, è necessario rendere uguali i diametri tramite riscaldamento dell'alluminio o raffreddamento del rame.
  • I coefficienti di dilatazione superficiale sono 28*10^{-6}°C^{-1} per il rame e 48*10^{-6}°C^{-1} per l'alluminio.
  • Il riscaldamento della lastra di alluminio richiede un aumento di temperatura di 20,85°C, mentre il raffreddamento del rame richiede -35,71°C.
  • Raffreddare il tondo di rame è più conveniente in termini di calore necessario rispetto al riscaldamento della lastra di alluminio.
TEMPERATURA E CALORE TERZO ESERCIZIO

Oggi parleremo di temperatura e calore, in particolare ci occuperemo di risolvere un problema riguardante un tondo di rame che deve attraversare un foro di diametro minore del suo (riferito al tondo di rame che ha un diametro maggiore rispetto al foro). Il testo del problema è il seguente:

Come si può fare per introdurre un tondo di rame di diametro

[math]d_{1}=20mm[/math]
e massa
[math]m_{1}=500g[/math]
in un foro di diametro
[math]d_{2}=19,99mm[/math]
praticato in una lastra di alluminio di massa
[math]m_{2}=1kg[/math]
, senza allargare il foro né tornire il tondo?

Evidentemente, per farlo, l'unico modo è rendere uguale i due diametri e questo è possibile o riscaldando la lastra di alluminio o raffreddando il tondo di rame. Si tratta in entrambi i casi, di dilatazione superficiale. La relazione che la regola è la seguente:

[math]S=S_{0}(1+δΔt)[/math]

Dove

[math]S\ \ e\ \ S_{0}[/math]
sono le superficie alle due temperatura e
[math]δ[/math]
(sigma) è il coefficiente di dilatazione superficiale. Per il rame, il coefficiente di dilatazione superficiale è uguale a:

[math]δ_{1}=28*10^{-6}°C^{-1}[/math]
(rame)

[math]δ_{2}=48*10^{-6}°C^{-1}[/math]
(alluminio)

Si tratterà, nei due casi, di valutare il

[math]Δt[/math]
, che si ricava da questa formula (
[math]S=S_{0}(1+δΔt)[/math]
) e sarà interessante vedere quale delle due operazioni, ovvero scaldare la lastra di alluminio o raffreddare il tondo di rame è più conveniente. Quindi procediamo in questo modo:

[math]S=S_{0}(1+δΔt)\\
=>\ \frac{S}{S_{0}}=1+δΔt\ =>\ \frac{\not{δ}Δt}{\not{δ}}=(\frac{S}{S_{0}}-1)\frac{1}{δ}[/math]

Valutiamo, adesso, le due

[math]Δt[/math]
per l'alluminio e per il rame. per l'alluminio avremo un aumento di temperatura che sarà dato da:

[math]Δt_{A}=\begin{bmatrix}\frac{π(\frac{φ_{1}}{2})^{2}}{π(\frac{φ_{2}}{2})^{2}}\\\end{bmatrix} \frac{1}{φ_{2}}=(\frac{4}{3,996}-1)\frac{1}{48*10^{-6}}=20,85°C[/math]

Bisogna scaldare la lastra di alluminio di

[math]20,85°C[/math]
per ottenere un diametro uguale a quello del tondo di rame. Ora, analogamente, calcoliamo il
[math]Δt[/math]
del rame, e avremo che:

[math]Δt_{R}=\begin{bmatrix}\frac{π(\frac{φ_{2}}{2})^{2}}{π(\frac{φ_{1}}{2})^{2}}\\\end{bmatrix} \frac{1}{φ_{1}}=\ -35,71°C[/math]

Adesso, vediamo quale delle due operazioni, ovvero il riscaldamento della lastra di alluminio o il raffreddamento del tondo di rame, è più conveniente. Riscriviamo le due

[math]Δt[/math]
che abbiamo ottenuto:

[math]Δt_{A}=20,85°C\\
Δt_{R}=-35,71°C[/math]

Per valutare la convenienza, quale delle due operazioni è più conveniente, dobbiamo calcolare le quantità di calore che sono tirate in ballo. E' necessario per questo conoscere i calori specifici, rispettivamente, del rame e dell'alluminio. Essi sono:

Temperatura e calore - Terzo esercizio articolo

Le quantità di calore che cerchiamo (

[math]ΔQ_{1}=rame, ΔQ_{2}=alluminio[/math]
, sono naturalmente date da:

[math]ΔQ_{1}=m_{1}c_{1}Δt_{R}=500*0,093*(-35,71)=-1660,51cal[/math]

[math]ΔQ_{2}=m_{2}c_{2}Δt_{A}=1000*0,217*20,85=4524,45cal[/math]

Vediamo che da questi risultati, che anche se è più scomodo dal punto di vista operativo, è più conveniente raffreddare il tondo di rame.

Studia con la mappa concettuale

Domande da interrogazione

  1. Qual è il problema principale da risolvere riguardo al tondo di rame e al foro di alluminio?

    2. Il problema consiste nell'introdurre un tondo di rame con un diametro di 20 mm in un foro di alluminio di diametro 19,99 mm, senza allargare il foro né tornire il tondo.

  2. Quali sono le due opzioni per rendere uguali i diametri del tondo di rame e del foro di alluminio?

    3. Le due opzioni sono riscaldare la lastra di alluminio o raffreddare il tondo di rame, poiché entrambe le operazioni comportano una dilatazione superficiale.

  3. Quale delle due operazioni, riscaldare l'alluminio o raffreddare il rame, risulta più conveniente?

    4. Raffreddare il tondo di rame risulta più conveniente, poiché richiede un quantitativo di calore di -1660,51 cal, rispetto ai 4524,45 cal necessari per riscaldare l'alluminio.

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