Funzioni Reali e Vettori Geometrici (Teoria + Esempi)

Funzioni reali

Sia F(R) l'insieme di tutte le funzioni reali definite in R, ovvero: F(R) = {f : R → R}

Def. in F(R) un'operazione interna +: F(R) × F(R) → F(R) ponendo ∀ f, g ∈ F(R) (f + g) : x ∈ R → (f(x) + g(x)) ∈ R

Esempio

Se f: x ∈ R → cos x ∈ R e g: x ∈ R → (x + 1)^∀ ∈ R allora (f + g): x ∈ R → cos x + (x + 1)^∀ ∈ R

Funzioni reali

Sia F(ℝ) l'insieme di tutte le funzioni reali definite in ℝ, ovvero: F(ℝ) = {f: ℝ → ℝ}

Def. in F(ℝ) un'operazione interna +: F(ℝ) × F(ℝ) → F(ℝ) ponendo ∀ f, g ∈ F(ℝ) f+g: x ∈ ℝ → f(x) + g(x) ∈ ℝ

Esempio

Se f: x ∈ ℝ → cos x ∈ ℝ e g: x ∈ ℝ → (x+1)⁹ ∈ ℝ allora f+g: x ∈ ℝ → cos x + (x+1)⁹ ∈ ℝ

Si può verificare che:

1. F_ℝ, + è un gruppo abeliano. L'elemento nullo è la funzione nulla, ovvero

f: ℝ → 0 ∈ ℝ f costante nulla

2. Definiamo in (F_ℝ) un'operazione esterna ponendo ∀ k ∈ ℝ, ∀ f ∈ F_ℝ

k ∙ f: ℝ → ℝ → k ∙ f (x) ∈ ℝ

Esempio

Se k = 3√2, p: ℝ → ℝ; x ∊ ℝ → 3√2 ∙ x ∊ ℝ

Si può verificare che:

2. a ∙ (f_p + g_p) = a ∙ f_p + a ∙ g_p
3. (a + b) ∙ f_p = a ∙ f_p + b ∙ f_p
4. (a ∙ b) ∙ f = a (b∙f_p)
5. 1 ∙f = f

F(ℝ) è detto spazio delle funzioni reali

Vettori geometrici

Un segmento orientato dello spazio è un segmento AB su cui è fissato un ordine per i suoi estremi.

L'ordine è fissato: A precede B. Tale segmento orientato è rappresentato dal simbolo AB_→

Se A = B il segmento è detto segmento orientato nullo e si rappresenta con il simbolo Ɵ_↘

Notiamo caratteristiche geometriche:

1. Modulo di AB_→: |AB_→| = lunghezza del segmento AB rispetto a una fissata unità di misura.
2. Direzione di AB_→: retta contenente AB_→
3. Verso di AB_→: A precede B.

Due segmenti orientati AB_→ e CD_→ paralleli si dicono concordi se AB_→ e CD_→ sono contenuti in uno stesso semipiano determinato dalla retta AC. Concordi discordi.

Scansionato con CamScanner

Due segmenti orientati AB e CD si dicono equivalenti se:

1. Hanno stesso modulo
2. Hanno direzioni parallele o coincidenti
3. Sono concordi

AB è equivalente a CD. AB ≃ CD

Un vettore geometrico dello spazio è l'insieme di tutti i segmenti orientati dello spazio equivalenti a un fissato segmento orientato AB.

[AB] = vettore geometrico determinato dal segmento orientato AB. Se AB ≃ CD ⇔ [AB] = [CD]

Regola del parallelogramma

Sia V₃ l'insieme di tutti i vettori geometrici dello spazio.

Det: ∀ V₃ ∃! V₃ + V₃ → V₃, prendendo [\(\overrightarrow{AB}\)] e [\(\overrightarrow{CD}\)] due vettori geometrici di V₃.

Sia AD un segmento orientato equipotente a CD del parallelogramma ABCD (attraverso la v.d.) definendo così la somma di: [AB] + [CD] = [AD] ∈ V₃

Si può dimostrare che: Δ (V₃, +) è un gruppo abeliano. L'elemento neutro di (V₃, +) è il vettore geometrico nullo [O\(\overrightarrow{O}\)]

Definiamo in V₃ un'operazione esterna: ℝ × V₃ → V₃

Siano k ∈ ℝ e [AB] ∈ V₃, possiamo 3 casi:

1. k = 0 oppure [AB] = [O\(\overrightarrow{O}\)]. In tal caso poniamo: k ⋅ [AB] ≝ [O\(\overrightarrow{O}\)]
2. k ≠ 0 e [AB] ≠ [O\(\overrightarrow{O}\)]

Definiamo il segmento orientato _AB: |_AB'| = k ∙ |_AB|

^AB' e _AB hanno stessa direzione.

^AB' e _AB sono concordi.

Allora si definisce k ∙ _-AB = [_AB] k AB' ≠ ø

Definiamo il segmento orientato ^AB: |^AB'| = |k| ∙ |^AB| = (-k) ∙ |^AB|

^AB' e ^AB hanno stessa direzione.

^AB' e ^AB sono discordi.

=> si definisce k ∙ _-AB = [_AB]

Si possono verificare le proprietà:

1. h ∙ ([_AB] + [^CD]) = h ∙ [_AB] + h ∙ [^CD]
2. (h + k) ∙ [_AB] = h ∙ [_AB] + k ∙ [_AB]
3. (h ∙ k) ∙ [_AB] = h ∙ (k ∙ [_AB])
4. ø ∙ [_-AB] = [_AB]

∀ h, k ∈ ℝ ∀ [_AB], [^CD] ∈ V₃

V₃ è detto spazio vettoriale geometrico.

Spazio vettoriale "insulto" su ℝ^u

Sia (k, t₁) un campo dove 0, 1 sono gli elementi neutri rispetto a + e ∙.

Definiamo sull’insieme k un'operazione invert: t + k = k; k = t; prendendo (x₁, x₂) + (y₁, y₂) = (x₁ + y₁ + t₁, x₂ + y₂ + t₁)

Esempio

(2, t₁) + (Ø_-1) = (3, t₁)

L'operatore k : k ∙ k ∙ k_-1 è associativa, poiché u = (x₁, x₂), v = (y₁, y₂), w = (z₁, z₂)

(x₁, x₂) + (y₁, y₂) + (z₁, z₂) = (x₁, x₂) + ((y₁ + z₁) + t₁, x₂ + z₂ + t₁)

= ((x₁ + y₁ + t₁) + z₁, (x₂ + y₂ + t₁) + z₂)

= ((x₁ + y₁ + z₁ + t₁), (x₁ + z₂ + t₁), (x₂ + y₁ + t₁), (x₂ + y₂ + t₁))

(x₁ + y₁ + t₁ + z₁, x₁ + y₂ + t₁, x₂ + y₂ + t₁) = (u + v) = w

Operazione: K² × K² → K² è commutativa infatti:

u+v=(x₁, x₂), (y₁, y₂)=(x₁+y₁+λ, x₂+y₂+λ)ε (u₁, x₁) - (y₁, y₂) = (y₁, y₂) + (x₁, x₂) = v + u

Esiste l'elemento neutro, ovvero Ω=(−λ, −λ); infatti: u + Ω = (x₁, x₂) + (−λ, −λ) = (x₁+(−λ+λ), x₂+(−λ+λ)) = (x₁, x₂) = u

Ogni elemento di K² è invertibile infatti l'inverso di (X₁, X₂) è −(X₁ + 2λ, X₂ + 2λ) infatti poiché u = (X₁, X₂) e −u = (−X₁ − 2λ, X₂ − 2λ)

Si ha: u + (−u) = (x₁, x₂) + (−x₁, x₂−2) = (x₁ + (−x₁&minus 2) + λ, x₂x₂) + λ = (1λ, −1 λ) = Ω Abbiamo che (K², +) è un gruppo abeliano.

Definiamo in K² un'operazione esterna: K × K² → K²: ponendo ∀ d ε K, ∀ (X₁, X₂) ε K² d * (x₁, x₂) = (dx₁ + d² λ, dx₂ d−1)

Esempio

3. (−1, λ) = (6λ−3−λ, 3λ−λ) = (−λ, 5)

(Δ)   ∀ d ε K, ∀ u, v ε K² si ha: d * (u + v) = d * u + d * v; infatti

→ d (u + v) = d (((x, X) t) + ((y₁, y₂) t)) = d (x₁ + y₁ + λ, x + y₂ + λ) = = (d x₁ + d y₁ + d λ + d * λ, d x₂ + d y₂ + d λ + d − 1)

= = ((dx₁ + d λ + dy₁ + dλ, x₂ + d−1) d x ² + dλ + dx₁ + d−1 == ((dx₁+d−1)+dy₁−λ), dx₁-λ, (x₂+dy₂−d−1)λ+(dλ+d−1+d²λ+λ) == d (x₁, x₂) + d (y₁ - y₁) = du + dv

∀ α, β ε K, ∀ u, α ε k² si ha: (α + β) ( · ) · u = α * u + β * u; infatti:

→ (α + β) · (x₁, x₂) = (d + β) (x₁ + λ, x₂(d λ + −1) = (d (α + β) x₁ + d (α + β −)λ, + d (x + β)z₂)... - (α x₁ + β x₂ + (α + β) ^{λ -λ, 0}

= = (d α x₁ + β x₁ + d α x₁+ d α x₁ + d β x₂ + β ^{-λ, d α x₁ + β _{-λ, 0}). = d (d (α x₁+dλ-x) + (d α x₁ + d -a d β + β _...}

= d ((x₁ + d−1) + dx₂ β=β λ) (α x₂ β x₁) + ^{β (β x + β...} = d ((d x₁ + d β x) (_{β β}) x₂ β...d [d (x₁, x₂) + β (x₁, x₂)] = d + λ β...3)

∀ d ∈ ℝ ∀ (x, y) ∈ ℝ² si ha: (d, β) · μ = d · (β · μ)

Infatti = d (β · μ) = d (β(x₁, x₂)) = d (βx₁ + βx₂) = d (βx₁ + βx₂) == (dβx₁ + β · 1) + d · x₂ (dβx₂ + β · 2) + x₂ · 1 == (d (βx₁ + βx₂)) = (dβ) (x₁, x₂) = (d β) μ

4) ∀ μ ∈ Kⁿ si ha: λ μ = μ₁ infatti => λ μ = λ (x₁, x₂, x₃) = (x₁ λ, x₂ ± λ, x₃ ± λ) = (x₁, x₂) = μ

K² è uno spazio vettoriale sul campo K

Legge di annullamento del prodotto

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. In V vale la seguente legge:

a ∈ K μ ∈ V => a λ μ = 0 < => a = 0 oppure μ = 0

dim (μ = (0, 0) => a = 0 = μ + 0 + μ1 per la Per la ( ) -0μ ∈ V: 0·μ ± (0·μ) = 0 dunque se andiamo a sommare -0·μ ad entrambi i membri dell'uguaglianza 0·μ = 0·μ + 0·μ otteniamo:

0·μ ± (0·μ) = 0·μ ± 0·μ ± (0·μ) = 0·μ ± 0·μ = 0·μ μ

Sia ora μ = 0 allora a · 0 = a · (0 ± 0) = a · 0 = a · 0 t a 0 per la Per la ∴ a — 0 ∈ V: a · 0 = (a · 0) ± 0.

Sommando a -0 ad entrambi i membri dell'uguaglianza a · 0 = a · 0 + a · 0 si ottiene: 0 = a · 0

(=>): Supponiamo ora a · μ = 0. Se a = 0 è teorema dimostrato. Supponiamo quindi che a ≠ 0. Essendo K un campo ∃ a^(-1) ∈ K. a · a^(-1) = 1 a = a · a^(-1) = a^(-1) · a

a^(-1) · (a · μ) = a^(-1) · 0 = 0 per la d'altra parte a^(-1) (a · μ) = (a^(-1) · a) μ = 1 · μ = μ per la ⁱ per la μ = 0

Conseguenza

∀ v ∈ V consideriamo i vettori v, -v ∈ V (prodotto esterno di- Λ ∈ K per v. Si ha: v = (-Λ) v infatti → v + (-v) = v + (-v) = 0 → Λ (v + (-v)) v = 0⋅v = 0

Più in generale si ha che ∀ ∈ K, ∀ v ∈ V, si ha (-a⋅v) = (-a) ⋅ v infatti ≥ 0 ⋅ v + (-a ⋅ v) = (a + (-a)) ⋅ v = 0 ⋅ v = 0

Sistema di vettori

Un sistema di vettori di V è una "collezione" di vettori di V non necessariamente distinti, cioè in cui dei vettori possono comparire più volte.

Esempio

A = [u v v' ] ∈ V mentre {u v v'} ⊆ {u, u, w}

Osserva: In Algebra lineare, v c'è l'esigenza di considerare sistemi di vettori in cui alcuni vettori possono comparire più volte.

Se {A} = [v₁ v₂ ..., v_t] è un sistema di vettori di V, possiamo considerare la seguente combinazione lineare: c₁ v₁ + 0 v₃ = 0 (per la legge)

Se il sistema A si dice linearmente indipendente e libero se l'unica combinazione lineare dei vettori di A uguale al vettore nullo è quella in cui i coefficienti sono tutti uguali a zero.

Esempio

In K³ A = [(1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 1)]

a (0, 0, 1) + b (1, 0, 0) + 0 (0, 0, 1) = (0, 0, 0)

(a, b, c) = (0, 0, 0) → a = b = c = 0

Combinazione lineare

∀ J ⊆ V a₁, a₂, ..., a_t ∈ K. Si definisce combinazione lineare di v₁, v_t con coefficienti al a₂, ..., a_n il vettore. a₁ v₁ a₂ v_t a_n, J ⊆ V

Esempio

In K³ 2 (-1, 0, 0) + 3 (0, 0, -1, 0) (1, -1, 2) = -(2, 0, 0) +, 00, -3) + (1, -1, 2) = (-3, -3, -1)

In K² (5, 0) + 2 (0, 0) (5, 5) (5, 0) + 2 (0, 2) = (0, 2, -5) (25, 0) ∈