Vettori applicati e Spazi vettoriali

Insiemi

Collezione di oggetti {Z Q R}

Inclusione

A ⊂ B

Se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.

A ⊂ B: A dentro B, ma B ne contiene di più di elementi.

A ⊂ B ⇒ {A ⊂ B B = A}

Unione e intersezione

A ∪ B unione

A ∩ B intersezione

Se A ⊂ B allora {A ∪ B = B A ∩ B = A}

Un elemento x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A oppure x ∈ B.

Un elemento x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A e x ∈ B.

Funzione tra insiemi

Fissiamo A ⊂ B insiemi, una funzione da A verso B è una regola che permette di associare ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

Dato x ∈ A, f(x) ∈ B è detto immagine di x tramite f.

A ⊂ {triangoli sul piano}

B ⊂ IR

f : A ⇒ IR

f(t) : area (T)

Fissiamo sul piano un riferimento cartesiano.

E ⊂ {punti sul piano}

x : E ⇒ IR

x(p) : ascisse di P

Data una funzione f : A ⇒ B, l'insieme A è detto dominio.

L'insieme B è detto codominio.

Iniezione

f : A ⇒ B è iniettiva se dati a, c ∈ A, a≠c allora f(a) ≠ f(c).

Suriettiva

f : A ⇒ B è suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento differente.

Biunivoca

Iniettiva

Suriettiva

Insiemi

Collezione di oggetti {Z Q R}

Inclusione

A⊆B

Se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.

A⊂B: A dentro B, ma B ne contiene di più di elementi.

A⊆B ⇔ {A⊆B; B⊆A}

Unione e intersezione

A∪B unione

A∩B intersezione

Se A⊆B allora {A∪B=B; A∩B=A}

Un elemento x∈A∪B ⇔ x∈A oppure x∈B.

Un elemento x∈A∩B ⇔ x∈A e x∈B.

Funzione tra insiemi

Fissiamo A e B insiemi, una funzione da A verso B è una regola che permette di associare ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

Dato x∈A, f(x)∈B: f è detto immagine di x tramite.

A={triangoli sul piano} B=ℝ

f : A→ℝ

P : T→area(T)

Fissiamo sul piano un riferimento cartesiano.

Ɛ = {punti sul piano}

x : Ɛ→ℝ

x(P) : ascisse di P

Data una funzione f : A→B, l'insieme A è detto dominio.

L'insieme B è detto codominio.

Iniezione

f : A→B è iniettiva se dati a₁, a₂∈A, a₁≠a₂ allora f(a₁)≠f(a₂).

Suriezione

f : A→B G è suriezione se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento differente.

Data f : A → B

Imm(f) = {y∈B | y è l’immagine di almeno un elemento di A}

f: A ≤ B

f è suriettiva ⟺ f(A) = B

ℝ ≠ ℝ

Non è iniettiva

∀ suriettiva

↑∈ f:ℝ⟶ℝ

P0 è il punto di coordinate (x, 0)

∀(A) = {punti con ordinate 0}

ℝ² = {a,b|}a, b∈E

(5,7)≠(7,5)

_{⇣ℝ ⊆ ℝ²}

c➔=(x_p, ꞏ_p)

Dove x_p: ascissa

ꞏ_p: ordinata

Vettori applicati

OP è un segmento orientato nello spazio.

Un vettore ha un modulo, direzione, verso interesse del punto di applicazione.

Due vettori sono uguali se hanno stesso modulo, direzione, verso e punto di applicazione.

Equipollenti sono due vettori con stesso modulo, direzione, verso (ma non necessariamente punto di applicazione).

E³ = {vettori applicati in ^—∘ } E³ : P⇠O^P{punti nello spazio}

O ∈ E

||^OP|| modulo

Numero positivo

Moltiplicazione per scalare

λ > 0

λ \vec{OP} = \vec{OP'} \vec{OP'} è stessa direzione e verso di \vec{OP}

|\vec{OP'}| = |\lambda | \cdot |\vec{OP}|

λ < 0

λ \vec{OP} = \vec{OP'} \vec{OP'} ha stessa direzione di \vec{OP} ma verso opposto.

|\vec{OP'} | = |\lambda | \cdot |\vec{OP}| \vec{OP} = \vec{0} = \vec{OP'} |\lambda| \cdot |\vec{0}| = |\vec{0}|

Somma di vettori

\vec{OP} \not = \vec{OQ} \hspace{1cm} Hanno direzioni diverse.

\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OR}

|\vec{OP} + \vec{OQ}| \rightarrow |\overrightarrow{OR}| \not = |\overrightarrow{OP}| + |\overrightarrow{OQ}|

\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} \hspace{1cm} Hanno stessa direzione.

\vec{OP} + \vec{OQ} = \vec{OR} \hspace{1cm} |\overrightarrow{OR}| = |\overrightarrow{OP}| + |\overrightarrow{OQ}|

Se \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ}

|OQ| + |OP| = |OR|

Se \overrightarrow{P} \in E₀³, P è punto nello spazio.

P * \overrightarrow{V}

E il vettore finale del vettore equipollente a \overrightarrow{V} applicato in Ps