Vettori

fisica

F = m • a

ρ = M / V

Amelia Parigi

fisica

ρ = M / V

F = m · a

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I VETTORI

Come individuo la posizione di un punto e il moto?

1, 2, 3 dimensioni

ed è rappresentato come angoloØ angolo + ampiezza segmento

r₁ = √(x₁² + (y₁)²)

x₁ = r₁ cos Ø₁x₂ = r₁ sin Ø₂

Ø = AB / β

Ø = 90° → Ø = β π/2 → Ø = π/2

lo spostamento è individuato dalla freccia VETTORE

modulo: distanza tra puntidirezione: individuata dalla rettasu cui giace il vettoreverso:

spostamento equivalentedato dalla SOMMA DEI VETTORI

\vec{r} = x î + y ĵ▒ ⟶ determinare lunghezza ⟶ |r̅| = r = √(x² + y²)

_v = x_i ⁱ + y_i ^j

_v = x₂ ^{2 j}

_v₁ + _v₂ = (x₁ + x₂)¹ + (y₁ + y₂) ²

_v₁ - _v₂ = (x₁ - x₂)¹ + (y₁ - y₂) ²

d _v = (d x₁)¹ + (d y₁)²

module

_v₁ = x₁ ¹ + y₁ ^j + 2 ³

_v₂ = x₂ ¹ + y₂ ^j + 2 ³

_v₁ + _v₂ = (x₁ + x₂) ¹ + (y₁ + y₂) ^j + (2 + 2) ^k

_v₁ - _v₂ = (x₁ - x₂) ⁱ + (y₁ - y₂) ^j + (2 - 2) ^k

2 _v = 2 x ⁱ + 2 y ^j + 2 ^R

̅₁ = (4,2 m)̂ + (5,4 m)̂ ⟶ (4,2 ̂ + 5,4 ̂) m

̅₂ = 7,2 m̂ + 3,4 m̂

̅₁ + ̅₂ = (4,2 m + 7,2 m)̂ + (5,4 m + 3,4 m)̂

= 11,4 m̂ + 8,8 m̂ ⟶ (11,4 ̂ + 8,8 ̂) m

|̅₁ + ̅₂| = √((11,4 m)² + (8,8 m)²) = 14,4 m

̅₁ - ̅₂ = (4,2 - 7,2)̂ + (5,4 - 3,4)̂ = -3,0 m̂ + 2,0 m̂

|̅₁| = √((4,2 m)² + (5,4 m)²) = √17,64 m² + 29,16 m²

= √46,5 m² = 6,36 m

|̅₂| = √((7,2 m)² + (3,4 m)²) = 7,96 m

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⃗ = 6,2 î + 5,4 ĵ

= |⃗| ⋅

= |⃗| ⋅

|⃗| = √(6,2)² + (5,4)²

6,2 = 6,84

= ^6,2 /_6,84 = 0,616

= ⁻¹(0,616) = 52,1°

1 ≈ 57°

52,1 : 180 = : π

= 0,309

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PRODOTTO

dovremmo fare ā · b̄

ā̄ = a_x x̂ + a_y ŷ

b̄ = b_x x̂ + b_y ŷ

P. SCALARE

prodotto tra vettori = n° scalare (+ o -)

åă̄ · b̄ă come lo trovi?

1. ā̄ · b̄ = |ā̄| |b̄| cosθSe si conosce θ
2. Se ho solo le componentiā̄ · b̄ = a_xb_x + a_yb_y

si può anche fare

3. ā̄ · b̄ = (a_x x̂ + a_y ŷ)(b_x x̂ + b_y ŷ)

a_x x̂ · b_x x̂ + a_x x̂ · b_y ŷ + a_y ŷ · b_x x̂ + a_y ŷ · b_y ŷ

a_xb_x x̂ · x̂ + a_xb_y x̂ · ŷ + a_yb_x ŷ · x̂ + a_yb_y ŷ · ŷ

a_xb_x + a_yb_y

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Ne ho 3 componenti?

î = a_x x î + a_yj + a_z k̂

ĵ = b_x x î + a_yj + b_z k̂

(î − ĵ − a_{xbx + ayby + az0z}

P. vettoriale

â ^ b̂ = â x b̂

Modulo | â ^ b̂ = |â| |b̂| sin θ (è 0 quando vettori |)

direzione (per il piano individuato tra 2 vettori)

Verso (regole della mano dx)

pollice → 1 vettoreindice → 2 vettoremedio → direzione/verso del prodotto vettoriale

entrante

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2) MATRICE 3x3

_{i j k}

| _{ax ay az} | _{ax az} | _{ax ay} |

| _{bx by bz} | = _i (a_y b_z - a_z b_y) - _j (a_x b_z) + _k (a_x b_y)

= (a_y b_z - a_z b_y) _i - (a_x b_z - a_z b_x) _j + (a_x b_y - a_y b_x) _k

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Il valore del lavoro

L = F ⋅ Δr con:

a) F = 300 N

Δr = 1,25 m , angolo fra vettori 35° = θ

L = |F| ⋅ |Δr| ⋅ cos(35) = 300 N ⋅ 1,25 m ⋅ cos(35) = 307 N⋅m

b) F = (25,0 î - 27,4 ĵ) N

Δr = (6,20 î - 7,50 ĵ) m

(25,0 N ⋅ 6,20 m) + (-27,4 N ⋅ 7,50 m) = -52,5 N m

x esercizio:

|F| = √[(25,0 N)² + (-27,4 N)²] = 37,1 N

Oss

modulo di |F| è la √(F ⋅ F)

|F| = √(F ⋅ F)

F ⋅ F = (F_X î + F_Y ĵ) ⋅ (F_X î + F_Y ĵ) = F_X² + F_Y²