Matematica - Vettori e Matrici

Vettori in algebra lineare: introvettori

Introducendo un sistema di riferimento cartesiano il piano si può individuare come l'insieme R delle coppie ordinate di numeri reali.

Ad ogni punto si può associare anche un vettore pensabile come segmento orientato che ha per estremi l'origine O e il punto stesso.

Ne segue che possiamo identificare il vettore OP con la coppia ordinata (x, y) delle coordinate del punto P!

Scrivere "V →" = (x, y) invece "V " = OP

|V| = Lunghezza di √x²+y²

• Si indica anche |V|
• Componenti scalari
• Norma o modulo

Operazioni

Somma

Dati due vettori "V →" = (x₁, y₁) e "W →" = (x₂, y₂) la loro somma è un vettore avente per componenti la somma delle componenti di "V →" e "W →".

"V →" + "W →" = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

Es: "V →" = (1, 2) e "W →" = (3, 1) Determinare "V →" + "W →"

"V →" + "W →" = (1+3, 2+1) = (4, 3)

NB: Norma del vettore somma è minore uguale del modulo dei 2 vettori sommati.

Diseguaglianza triangolare |"V →" + "W →"| ≤ |"V →"| + |"W →"|

Vale se "V →" "W →" sono paralleli e hanno lo stesso verso.

Moltiplicazione per scalare

Dati "V →" = (x, y) ed un numero reale λ, vettore λ"V →" ha per componenti quelle del vettore "V →" moltiplicate per λ.

λ"V →" = (λx, λy)

Es: 2"V" = (2*1, 2*2) = (2, 4)

-1"V" = (-1*1, -1*2) = (-1, -2)

"Opposto"

Nella moltiplicazione per λ:

• Norma moltiplicata per |λ|
• Direzione resta stessa
• Verso: uguale se λ > 0
• Opposto se λ

Vettori in algebra lineare: intro

Introducendo un sistema di riferimento cartesiano il piano può identificarsi come l'insieme R² delle coppie ordinate di numeri reali. Ad ogni punto si può associare anche un vettore pensabile come segmento orientato che ha per estremi l'origine ed il punto stesso.

Ne segue che possiamo identificare il vettore OP con la coppia ordinata (x, y) delle coordinate del punto P: scrivere _V(x, y) ^{= (x, y)} invece di V = OP.

Lunghezza OP = √(x² + y²) (si indica talvolta anche ||V||)

Operatori

Somma

Dati due vettori _V( x₁, y₁) e _W( x₂, y₂) la loro somma è un vettore avente per componenti la somma delle componenti di _V e _W.

V + W = (x₁ + x₂, y₁+ y₂)

Es.: _V(a,1,2) e _W(3,1) determinare _V + _W.

_V + _W = (4+3, 2+1) = (7,3)

NB: Norma del vettore somma è minore uguale del modulo del 2 vettori sommati.

Diseguaglianza triangolare V + W <= |V| + |W| vale se V, W sono paralleli e nello lo stesso verso.

Moltiplicazione per scalare

Dati _V(x,y) ed il numero reale λ il vettore _λV ha per componenti quelle del vettore _V moltiplicate per λ.

λV = (λx, λy)

Es.: 2V = (2.1, 2 . 2) = (2,4)

-1V = (-1.1, -1.2) = (-1,-2)

Opposto

Nella moltiplicazione per λ:

• Norma moltiplicata per |λ|
• Direzione resta stessa
• Verso uguale se λ >= 0
• Opposto se λ < 0

Prodotto scalare e angolo tra vettori

Dati due vettori _v = (x_v, y_v) e _w = (x_w, y_w) il loro prodotto scalare, che si indica con la notazione _v∙_w o <_v,_w>, è assegnato dalla formula:

_v∙_w = x_v∙x_w + y_v∙y_w (numero reale)

= |v|∙|w|∙cos θ

_v = |v|∙sin θ

_v = |w|∙sin θ

_v = y_v∙y_w

calcoli |v|∙|w|∙cos(θ_v - θ_w) = |v|∙|w|∙cos θ_v

_v∙_w > 0 ⟷ α < 90°

_v∙_w < 0 ⟷ α > 90°

_v∙_w = 0 ⟷ α = 90° o che uno dei vettori è vett. nullo

Angolo tra vettori

cos α = _v∙_w / |v|∙|w| ⟶ α = arccos (_v∙_w / |v|∙|w|)

Esempio:

Det. angolo tra _v = (4,2) e _w = (3,1)

cos α = _v∙_w / |v|∙|w| = 1∙3 + 2∙1 / sqrt(4 + 2²)∙sqrt(3² + 1²) = 5 / sqrt(5)∙sqrt(10) = 25 / 150 = 1 / 12 α = arccos (1 / 12) ; 45° = π / 4

* se _v = (a,b) allora |v| = sqrt(a² + b²)

Relazione tra norma e scalare (modulo)

Sia _v = (x,y) un vettore allora _v∙_v = x∙x + y∙y = x² + y² = |v|² = _v∙_v ⟶ |v| = sqrt(_v∙_v)

Vettori geometrici: esercizi

Esercizio 1:

Det. per quale/i valore/i di a cir i vettori v (1, -2, 1) e w (a+1, a, -1) formano un angolo di 60°.

cos α = (v · w) / (|v| |w