Una nota sull’uso di integrali
Pasquale Cutolo
1
di Eulero divergenti
Una nota sull’uso di integrali di Eulero divergenti
(A note on the use of Euler’s divergent integrals)
di Pasquale Cutolo
Premesse
Vengono prese in esame numerose applicazioni pratiche per mostrare che gli integrali di
∞
1
∫ ∫
− − − −
− 1 1
1 (
1 ) ,
, e di seconda specie Γ(x) = si
Eulero di prima specie B(x,y) = x y x t
t t dt t e dt
0
0
possono utilmente impiegare, per ottenere risultati concreti, anche quando sono divergenti, e cioè quando x ed y non soddisfano le condizioni di convergenza Re(x)>0 e Re(y)>0.
Re(z) rappresenta la parte reale del complesso z
Abstract
In this work the author examines several applications to show that Eulerian integrals of the
∞
1
∫ ∫
− − − −
− 1 1
1 (
1 ) ,
, and of the second kind Γ(x)= can be used ,
first kind B(x,y) = x y x t
t t dt t e dt
0
0
to obtain correct results, also when they are not convergent, i.e. when x and y do not satisfy the convergence conditions Re(x)>0 and Re(y)>0.
Re(z) denote the real part of the complex number z.
1.0.00. Introduzione
È noto che la funzione Gamma Γ(x) è definita per qualsiasi x complesso, ad eccezione dei
Γ Γ
( ) ( )
x y è definita per tutti i
valori interi non positivi, e che la funzione Beta B(x,y)= Γ +
( )
x y
valori di x ed y per cui è definito il numeratore della funzione Beta. Le funzioni Beta e Gamma hanno due importanti rappresentazioni integrali, note, rispettivamente, come integrale euleriano di prima specie Γ Γ
( ) ( )
x y
1
∫ − −
− 1
1 (
1 )
a) B(x,y) = = (1)
x y
t t dt Γ +
( )
0 x y
e integrale euleriano di seconda specie
∞
∫ − −
1 ,
b) Γ(x) = (2)
x t
t e dt
0
che sono valide quando gli integrali sono convergenti, e cioè quando sono verificate le condizioni Re(x) >0 e Re(y) > 0 (3)
dove Re(z) indica la parte reale del numero complesso z, e solo la prima condizione della (3) è necessaria per la (2).
Noi vogliamo mostrare, attraverso diverse e concrete applicazioni, che le espressioni (1) e (2) si possono utilmente impiegare, per ottenere risultati corretti, anche quando sono divergenti, e cioè quando x ed y non soddisfano le condizioni di convergenza (3).
Nelle applicazioni che seguono noi facciamo frequentemente uso della ben nota “Relazione dei complementi”, definita da 1
Una nota sull’uso di integrali Pasquale Cutolo
2
di Eulero divergenti π (4)
Γ(z)Γ(1- z) = π
sen z π =
valida in tutto il campo complesso, ad eccezione dei valori per cui 0
sen z
β
α e numeri reali positivi, piccoli a piacere.
Inoltre, indichiamo con
Nel presente studio noi prenderemo in considerazione le seguenti applicazioni:
2.1.01
Consideriamo l’espressione:
n
m
∑ −
= ≤ ≤
, con 0 m n; m, n interi non negativi
( 1
) K
C
1
k
= 0
Ponendo k = m – h, otteniamo: α
−
lim
n n
m m
∑ ∑
− −
−
− =
( 1
) ( 1
)
= =
m h m h
C
β α β
1 → → − −
− 0
m h m h
= =
0 0
h h α
Γ + − −
lim ( 1 )( 1
) h
m n
∑
−
( 1
)
= m β α β β α
→ → Γ + − − Γ + − + + −
0 ( 1 ) ( 1 )
m h n m h
= 0
h
Applicando la (4), ricaviamo: πβ
sen
β β
1/Γ(m+1-h- ) = Γ( +h-m ) (-1) h− m
π π α β
−
( )
sen
β α α β − −
−
− − ( 1
)
) = Γ( +m-n-h)
1/ Γ(n+1+h-m+ m n h
π
π
α α
Γ + − Γ − = −
( 1 ) ( ) ( 1
) n
n n πα
sen
Pertanto, sviluppando i calcoli, utilizzando le ultime tre relazioni, e semplificando, ricaviamo: π α β
−
lim ( ) m
sen ∑ 1
∫ β α β
− + − − + − − −
= − − −
1 1
( 1
) ( 1
) (
1 ) =
m h m h m n h
C t t dt
α β π
1 → → 0 0
= 0
h − t +
− 1
1 ( ) m
π α β
−
lim ( ) −
sen 1
1
∫ t
β α β
− − − + − −
= − −
1 1 ; quindi
( 1
) (
1 )
m m m n
t t dt
α β π
→ → 0 t
0 +
1 −
1 t
π α β
−
lim ( )
sen 1 1
∫ ∫
β α β β α β
− − − + − + − − −
= − − − − − =
1 1 1
( 1
) ( (
1 ) ( 1
) (
1 ) )
m m m n m n
C t t dt t t dt
α β π
1 → → 0 0 0
π α β
−
lim ( )
sen [ ]
= −
( 1
) T + (-1) , avendo posto
m m T
α β π 2
1
→ → 0
1 1
∫ ∫
β α β β α β
− − − + − − − −
− = −
1 1
=
T (
1 ) ; (
1 ) .
m m n n
t t dt T t t dt
1 2
0 0
β α β β α β
Γ − Γ − + − + Γ + Γ − −
( ) ( 1
) ( 1
) ( )
m m n n
= =
Ora, ;
T T
α α
1 2
Γ − + Γ + −
( 1
) ( 1 )
n n
2
Una nota sull’uso di integrali Pasquale Cutolo
3
di Eulero divergenti
Applicando la (4), ricaviamo: α
− − πα β α
πα π Γ −
Γ +
1 ( 1
) ( )
n sen n
sen = −
= ; .
T
T
β π α β β α
πβ π α β
1 2
− − Γ + + −
− ( ) ( 1 )
( )
m sen n
sen sen
n
m
∑
= − =
Quindi ( 1
) K
C
1
k
= 0
K α
− − −
πα πα β α
Γ + Γ −
lim 1 1
(
1 ) ( ) n
n
sen sen n
= − − = − ,
( 1
) ( ) ( 1
)
m m
α β β
πβ π β α
→ → − Γ + + −
0 ( 1 )
m m
sen n
formula perfettamente identica a quella riportata, a pag. 163, formula (5-16), del testo[1], e quindi è da ritenere valido il procedimento seguito.
Confrontando l’integrale con la (1), rileviamo che Re(x)<0 e Re(y)<0, mentre l’integrale
T
1
presenta solo Re(y)<0
2.1.02
Consideriamo l’espressione:
n
n
∑
= , n, intero non negativo. È lecito porre
C
2
k
= 0
K α
− α
Γ + −
lim lim
∞ ∞ ∞ ( 1 )
n n n
∑ ∑ ∑
= = =
C
α α α
2 → → Γ + Γ + − −
0 0 ( 1
) ( 1 )
k k k n k
= = =
0 0 0
K K K
πα
sen
α α
−
Γ + − − = − Γ + − , ricaviamo:
Ricordando che 1/ ( 1 ) ( 1
) ( )
k n
n k k n
π
πα −
lim ∞ ( 1
) k ∞
sen ∑ ∫ α
α + − − − = − Γ + − 1 =
( 1
) ( 1 )
n k n t
C n t e dt
α π
2 → 0 ! 0
k
= 0
K
πα
lim ∞
sen ∫ α
α − − −
= − Γ + − 1 2
( 1
) ( 1 )
n n t
n t e dt
α π
→ 0 0
∞ ∞ y dy
∫ ∫
α α α α
− − − − − − −
= = = = = Γ −
1 2 1
( 2 ) ( ) 2 ( )
Calcoliamo l’integrale n t n y
T t e dt t y e n
2 2
0 0
Quindi, applicando la (4), abbiamo:
πα
lim
n
n sen
∑ α
α α
−
= − Γ + − Γ − =
= ( 1
) ( 1 ) 2 ( ) 2
n n n
n n
C α π
2 → 0
k
= 0
K
Notiamo subito che l’integrale T, confrontato con la (2), presenta Re(x)<0
Il procedimento seguito conduce, quindi, ad un valore concreto ben noto, e pertanto è da considerarsi valido.
2.1.03
Consideriamo l’espressione:
∞ p
∑ −
= con p>0, non intero.
( 1
) ,
K
C
3
k
= 0
K
Sviluppando i calcoli, otteniamo: 3
Una nota sull’uso di integrali Pasquale Cutolo
4
di Eulero divergenti π
Γ + − Γ −
∞ ∞
( 1
)( 1
) ( )
K
p sen p k p
∑ ∑
= = − Γ + =
( 1
)
C p
π
3 Γ + Γ + −
( 1
) ( 1 ) !
k p k k
= =
0 0
K K
π
π ∞ 1 ∞
∞ sen p
sen p ∑ −
1
∫
∫ p
− −
− − − − Γ + =
= − Γ + =
1 ( 1
)
( 1
) t t
K p t p t e e dt
p t e dt π
π ! 0
0
k
= 0
K
π ∞
sen p ∫ − −
= − Γ + 1
( 1
) p
p t dt
π 0 ∞ 1 1
∫
∫ ∫
− − −
− − +
= = +
1 1
1 =
Calcoliamo l’integrale p
p p
t dt
T t dt t dt T T
1 2
0 0
∫ − −
= 1 risulta chiaramente divergente, ma se lo
Avendo posto p>0, l’integrale p
T t dt
1 0
riguardiamo come un intergrale di Eulero di prima specie, otteniamo:
Γ − Γ
( ) (
1
) 1
p
1
∫ − − − = −
− =
= 1 1 1
(
1 )
p
t t dt
T
1 Γ −
(
1 )
0 p p
1 1 1
= = + = − + =
, e quindi l’integrale 0
L’integrale T T T T
2 1 2
p p p
π ≠ 0 , e quindi
Essendo p un numero non intero, sen p
∞ p
∑
= − = come era da aspettarsi.
( 1
) 0
,
K
C
3
k
= 0
K y
= ; così facendo otteniamo:
Inoltre, possiamo calcolare l’integrale T ponendo t −
1 y π
Γ −
Γ − Γ
( ) ( ) ( ) 1
∞ y dy p p p
1 1
∫ ∫ ∫
− − − − − − −
= = =
= − = =
1 1 1 1 ,
( ) (
1 ) 0
p p p p
T t dt y y dy π
Γ Γ + Γ
− − 2
1 (
0
) (
1 ) (
0
)
(
1 )
0 0 0
y p sen p
y
1
π ≠ = =
0 , e 0 , e quindi
in quanto 0 .
sen p C 3
Γ ( 0
)
rappresenta un integrale di Eulero di prima specie, con Re(x)<0
T
1
Il procedimento seguito conduce ad un valore concreto ben noto, e pertanto è da considerarsi valido. Consideriamo l’espressione:
2.1.04
m n
m
∑
≤ ≤
= 0 ; m,n, interi non negativi. È lecito porre:
, con m n
C
4
k k
= 0
K α α
− −
lim m
n
m
∑
= =
C
α
4 → 0
k k
= 0
K α α
Γ + − Γ + −
lim ( 1 ) ( 1 )
m m n
∑
= α α α
→ Γ + Γ + − − Γ + Γ + − −
0 ( 1
) ( 1 ) ( 1
) ( 1 )
k m k k n k
= 0
K
Sviluppando i calcoli, ed applicando la (4), ricaviamo:
πα
lim m
sen ∑ 1 1
∫ ∫
α α α α
+ + − − − + − − −
= − − −
2 1 1 =
( ) ( 1
) (
1 ) (
1 )
m n K m m K n n
C t t dt u u du
α π
4 → 0 0 0
= 0
K 4
Una nota sull’uso di integrali Pasquale Cutolo
5
di Eulero divergenti
πα +
−
lim 1
1 ( ) m
sen tu
1 1
∫ ∫
α α α α
+ − − − − − − =
= − − −
2 1 1
( ) ( 1
) (
1 ) (
1 )
m n m m n n
t t dt u u du
α π
→ −
0 1
0 0 tu
πα
lim sen +
− −
2
( ) ( 1
) ( ) , avendo posto
= m n T T
α π 1 2
→ 0 du
1 1
∫ ∫
α α α α
− − − − − −
= − − =
1 1
(
1 ) (
1 )
m m n n T T
T t t dt u u
1 11 12
−
1
0 0 tu +
1
( ) m
tu
1 1
∫ ∫
α α α α
− − − − − −
= − −
1 1
(
1 ) (
1 ) , e
m m n n
T t t dt u u du
2 −
1
0 0 tu
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