Una nota sulle serie divergenti e loro utilizzazione

UNA NOTA SULLE SERIE DIVERGENTI E LORO UTILIZZAZIONE

(A note on divergent series and their utilization)

di Pasquale Cutolo

p.cutolo@inwind.it

SOMMARIO

Con il presente lavoro viene affrontato lo studio di relazioni riguardanti serie

divergenti, soprattutto quelle con termini a segni alterni, e della loro utilizzazione.

ABSTRACT

With this work we examine the study of relations concerning divergent series,

particularly those having powers with alternate signs, and their utilization.

1.00 Introduzione

Una serie si dice divergente quando non è convergente.

Le serie divergenti più comunemente note sono:

∑ −

− + − + = ( 1

) (1.01)

1 1 1 1 ... k

≥ 0

k

∑ 0

1+1+1+1+… = (1.02)

k

≥0

k

∑ −

−

− + − + 1

= ( 1

) (1.03)

1 2 3 4 ... k k

≥

1

k

∑

1+2+3+4+… = (1.04)

k

≥1

k

∑ − +

− + − + = ( 1

) ( 2 1

) (1.05)

1 3 6 7 ... k k

≥ 0

k

∑ −

− + − + = ( 1

) ! (1.06)

0

! 1

! 2

! 3

! ... k k

≥ 0

k

Oltre le serie predette, esamineremo serie divergenti che presentano particolari caratteristiche.

Il grande matematico norvegese Niels Henrik (1802 – 1829), riferendosi alle serie

Abel,

divergenti, nel 1826 scrisse così al suo maestro Holmboë: “Les séries divergentes sont, en général,

quelque chose de bien fatal, et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration…la partie

la plus essentielle des Mathématiques est sans fondement. Pour la plus grande partie, les résultats

sont justes, il est vrai, mais c’est là une chose bien étrange. Je m’occupe à en chercher la raison,

problème très intéressant”

Il grande matematico francese, Augustin Louis (nato a Parigi il 21 agosto 1789, morto a

Cauchy,

Sceaux (Seine) il 23 maggio 1857), nella prefazione alla sua “Analyse Algébrique”, nel 1821,

scrisse: “ J’ai été forcé d’admettre diverses propositions qui paraîtront peut-être un peu dures: par

[ ]

exemple, qu’une série divergente n’a pas de somme”(vedasi testo , pagg. 320 e 321).

2

Bromwich,

J. E. Littlewood, (John Edensor Regno Unito, nato il 09.06.1885, morto il 06.09.1977),

Littlewood,

[ ]

1

nella sua prefazione al testo rivela che Abel, nel 1828, scrisse: “Divergent series are the

invention of the devil, and it is shameful to base on them any demonstration whatsoever”.

1

2.00 Consideriamo la serie: 1

∑ − =

( 1

) , (2.01)

k k

x +

1 x

≥ 0

k ≥

< 1

, ed è divergente per x

La serie (2.01) è convergente per 1 .

x

ε ε

= − , con >0, piccola a piacere, otteniamo:

Ponendo, nella (2.01), 1

x 1

∑ ε

− − = (2.02)

( 1

) (

1 )

k k ε

+ −

1 (

1 )

≥ 0

k

ε →

Passando al limite per , dalla (2.02) ricaviamo:

0 1

∑ − − + − +

( 1

) = = (2.03)

1 1 1 1 ...

k 2

≥ 0

k

− + − +

La serie è tale che la somma dei primi 2n termini è uguale a zero,

1 1 1 1 ...

mentre la somma dei primi 2n+1 termini è uguale a 1.

Se indichiamo con s la serie − + − + = s,

1 1 1 1 ...

possiamo scrivere: 1

− − + − +

(

1 1 1 1 ...) = 1- s, da cui s =

s = 1 2

Ritroviamo così la (2.03) − 1

∑ −

− =

1

( 1

)

Derivando la (2.01), rispetto ad x, otteniamo: ;

k k

k x + 2

(

1 )

x

≥

1

k

sostituendo k-1 a k, ricaviamo: 1

∑ − + =

( 1

) ( 1

) (2.04)

k k

k x + 2

(

1 )

x

≥ 0

k

Ponendo, x = 1 – ε, e passando al limite per ε→ 0, troviamo: 1

∑ ∑ −

− + = − = − + − + =

1

( 1

) ( 1

) ( 1

) 1 2 3 4 ... (2.05)

k k

k k 4

≥ ≥

0 1

k k

[ ] , pag.3), (Godfrey Harold , nato a Cranleigh,

(vedasi G. H. Hardy, Testo 1 Hardy

Inghilterra, il 07.02.1877, morto a Cambridge, Inghilterra, il 01.12.1947).

≥ 1

x

3.00 La serie (2.01), come abbiamo detto, è divergente per .

Esaminiamo l’integrale ∞

∫ − +

( 1

)

A = (3.01)

y x

e dy

0

L’integrale A è chiaramente convergente per Re(x) > -1,

ed è quindi convergente anche per x>1. 2

Infatti, ponendo, nella (3.01), y(1+x) = z, abbiamo:

1 1

∞

∞ ∫

∫ −

− +

( 1

) (3.02)

A = = =

z

y x

e dy e dz

+ +

1 1

0

0 x x −

( ) k

yx

∑

− =

Ricordando che la relazione yx

e !

k

≥ 0

k

è valida per qualunque valore di x e y, ricaviamo:

− 1

( ) k ∞

x ∑

∑ ∫ − − =

( 1

)

= , (3.03)

A = k y k k

x

y e dy +

1

! 0 x

k ≥

≥ 0

0

k k

La (3.03) è, perciò, da ritenere vera anche per x>1.

Possiamo, pertanto, affermare che la serie indicata al 1° membro della (2.01)

1

≥

è divergente per x 1, ma è rappresentata da +

1 x

In generale, come rimarcava Cauchy, “la proprietà caratteristica delle serie alternate

è rivelata dalla serie geometrica seguente:

2 3

1 1 t t t

= − + − + ... , c>0, t >0 (3.04)

+ 2 3 4

c t c c c c

che è vera non solo quando converge, ma anche per ogni arbitrario positivo

Riscrivendo la (3.04) con il resto, nella forma:

valore di c e t ”. +

2 3 1

1 1 1

n n

t t

t t t +

− + −

= − + − + 1

... + , (3.05)

( 1

) ( 1

)

n n

+ +

+ 2 3 4 1 2

n n t

c c

c t c c c c +

1 c

[ ]

(vedasi Knopp, Testo , pag. 534), (Konrad Hermann

3

essa è vera senza eccezioni

Theodor nato a Berlino il 22.07.1882, morto ad Annecy, Francia, il 20.04.1957).

Knopp,

3.01 Integrazione per le serie divergenti

n

x

∑ = ( )

Se una serie, , è divergente, per x>a, (a, costante), moltiplicando,

A f x

n !

n

≥ 0

n − , ed integrando, rispetto ad x, tra i limiti

ambo i membri della predetta relazione, per x

e

zero ed infinito, otteniamo un’altra serie divergente, definita da:

A

∞ ∞

∑

∫ ∫

− −

=

( )

x n x

n

e f x dx x e dx

!

0 0

n

≥ 0

n

il 1° membro della (2.01) diverge, applicando,

3.02 Ora, poiché, per x>1,

alla (2.01), l’integrazione di cui al punto , otteniamo:

3.01 − x

∞ ∞ e

∑ ∫ ∫

−

− = ,

( 1

) k x k

e x dx dx

+

1

0 0 x

≥ 0

k 3

∞

∑ ∫ −

− = +

( 1

) ! ln(

1 ) (3.06)

cioè: k x

k e x dx

0

≥ 0

k

L’integrale del 2° membro della (3.06) l’abbiamo ottenuto utilizzando l’integrazione

− x

∞ e

∫ ; abbiamo cioè:

per parti dell’integrale dx

+

1

0 x [ ]

− x

∞ ∞ ∞ ∞

e ∫ ∫ ∫

∫ − − − −

+ + + + +

ln(

1 ) ln(

1 ) ln(

1 ) ln(

1 )

= =

= x x x x

e d x e x e x dx e x dx

dx

+

1

0 0 0 0

x

Non è difficile calcolare l’integrale indicato nel 2° membro della (3.06) ; infatti:

∞ ∞

∫ ∫

− −

+ =

+ (

1 )

ln(

1 ) ln

x y

B = = = =

x y

e x dx e e ydy

0 1

⎡ ⎤

∞ 1

∫ ∫

− −

−

= e (ln ) (ln ) = e(B1 – B2)

y y

y e dy y e dy

⎢⎣ ⎥⎦

0 0 lim lim

⎡ ⎤

∞ ∞

∫

∫ ε ε

−

− Γ +

= = ( 1

) =

L’integrale B1= ln y

y D y e dy D

e ydy ⎢⎣ ⎥⎦

ε ε

ε ε

→ →

0 0

0 0

γ

Γ = Ψ = −

' (

1

) (

1

) ,

=

essendo, γ = 0,5772156649, la ben nota costante di Eulero-Mascheroni, e,

∞

∫ − −

1

Γ(z) = , Re(z)>0,

z t

t e dt

0 Γ ' ( )

z

Ψ =

( )

è la ben nota Funzione di Eulero di seconda specie; ,

z Γ ( )

z

, nato a Basilea il 15 aprile 1707, morto a San Pietroburgo il 7 settembre 1783).

(Leonardo Euler

(Lorenzo nato a Castagneta, Bergamo, il 13.05.1750, morto a Parigi il 14.07.1800).

Mascheroni,

L’integrale 1 0

∫ ∫ −

−

− − −

− −

z

B2= = (y= ) = =

(ln ) ( ) ( )

z

y e z

e

y e dy z e e dz

∞

0 −

−

− ( 1

)

( 1

) ( 1

) 1 k

k k

∞ ∑ ∑

∑ ∫ − + −

− ( 1

)

= = =

z k

ze dz + 2

! ! ( 1

) !

0

k k k k k

≥ ≥ ≥

0 1

0

k k k

− −

( 1

) k

x

∞ e ∑

∫ γ

− +

Pertanto: B = , (3.07)

= ( )

dx e

+

1 !

0 x k k

≥

1

k

Dalla (3.06) e (3.07) facilmente ricaviamo: −

( 1

) k

∑ ∑

γ

− = − +

( 1

) ! = 0,596347, (3.08)

( )

k k e !

k k

≥

≥0 1

k

k [ ]

1

che è perfettamente identica alla formula riportata da Hardy, (vedasi Testo , pagg. 27-28).

−

− 1

( 1

) k k

x

∑ = ln(1+x) (3.09)

3.03 Ricordiamo la nota relazione k

≥

1

k 4 ≤ 1

x , e diverge

Il 1° membro della (3.09) rappresenta una serie che converge per

per x>1. Pertanto, applicando, alla (3.09), l’integrazione di cui al punto , otteniamo:

3.01

−

− 1

( 1

) k ∞ ∞

∑ ∑

∫ ∫

− − −

= − − = +

1

. ,

( 1

) ( 1

)! ln(

1 )

k x k x

x e dx k e x dx

0 0

k

≥ ≥

1 1

k k ∞

∑ ∫ −

− = +

da cui, sostituendo k-1 a k, troviamo: ( 1

) ! ln(

1 ) ,

k x

k e x dx

0

≥ 0

k

relazione perfettamente identica alla (3.06).

3.04 Consideriamo, ora, la serie:

∑ − = −

2 3

( 1

) 0! – 1!x + 2! 3! +… (3.10)

k k

k! x x x

≥ 0

k

La serie (3.10), per x>1, è certamente divergente. ∞

∑

∑ ∫ −

− = −

Il 1° membro della (3.10) è pari a: ( 1

) ! ( 1

) (3.11)

k k k k k t

x k x t e dt

0

≥ ≥ 0

0

k k

− t

∞ e

∑ ∫

− =

Applicando la (3.04), otteniamo: ( 1

) ! (3.12)

k k

x k dt

+

1

0 tx

≥ 0

k

Eulero, nella sua corrispondenza con Nicholas Bernoulli, dimostra che la serie

∑ − soddisfa formalmente l’equazione differenziale:

( 1

) !

k k

x x k

≥ 0

k dy + =

2 , da cui egli ottiene l’integrale

x y x

dx

1 1 ζ 1 1

−

( ) ( ) d

x

∫ ζ

= − =

; sostituendo in quest’ultimo integrale ,

x

y e t

ζ ζ

0 x

− t [ ]

∞ xe

∫ 2 , pag 323).

ricava facilmente l’integrale y= (vedasi Bromwich, Testo

dt

+

1

0 tx

Pertanto, risulta verificata la (3.12) per ogni x positivo, e quindi anche per x>1.

Osserviamo che l’integrale seguente:

− t

∞ dy a

e dt

∫ = +

−

C = soddisfa l’equazione differenziale , b>0

by

a +

0 dx x

t bx

La soluzione della predetta equazione differenziale è data da:

⎤

⎡ 2 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ !

1 1 1

a a k

∑

− −

− − + − +

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( 1

)

1 2

! 3

! ... = , la quale è

y = ⎥

⎢ k ( )

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k

⎥

⎢

bx bx bx bx bx bx

⎦

⎣ ≥ 0

k

− t [ ]

∞ e dt

∫

− 2

rappresentata dall’integrale: C = (vedasi Bromwich, Testo , pag. 349).

a +

0 t bx 1

∑ − =

( 1

) k k

x

3.05 Riprendiamo la serie (2.01) +

1 x

≥ 0

k

Deriviamo ambo i membri della precedente, n volte, rispetto ad x. Operando, abbiamo:

5

Γ + Γ + −

( 1

) ( 1

) ( 1

) n

k n

∑ −

− = (3.13)

( 1

) k k n

x +

Γ + − Γ + 1

( 1 ) (

1

) (

1 ) n

k n x

≥ 0

k

Per k compreso tra 0 e n-1, i termini corrispondenti del 1° membro della (3.13) sono nulli;

1 1

= =

infatti, per ogni k<n, 0 ; pertanto, ponendo, nella (3.13), k-n=h, abbiamo:

Γ + − ∞

( 1 )

k n Γ + + −

( 1

) ( 1

) !

n

h n n

∑ +

− =

( 1

) ,

h n h

x +

Γ + + 1

( 1

) (

1 ) n

h x

≥ 0

h

+ ⎞

⎛ 1

n h

∑ ⎟

⎜ =

−

( 1

)

da cui ricaviamo: (3.14)

h h

x

⎟

⎜ +

+ 1

(

1 ) n

⎠

⎝ h x

≥ 0

h −

+ 1

Per il calcolo della derivata di ordine n, rispetto a x, di ( ) e di (

1 ) ,

k

x x

abbiamo utilizzato, rispettivamente, le formule:

Γ + Γ +

( 1

)

( 1

)

k n

− − − −

+ = + −

=

( ) ( ) 1 1

(

1 )

, (

1 ) ( 1

) (3.15)

n k k n n n n

D x x D x x

Γ

Γ + −

x x (

1

)

( 1 )

k n <

La relazione (3.14) è ben nota, ed è valida per .

1

x ≥ ,

Il 1° membro della (3.14) costituisce una serie che è divergente per x 1

ma è rappresentata dal 2° membro della medesima (3.14).

Quindi, applicando, alla (3.14), l’integrazione di cui al punto ,

3.01

+ ⎞

⎛ − x

n h ∞ ∞ e dx

∑ ∫ ∫

−

⎟

⎜ =

−

otteniamo: , cioè

( 1

) h h x

x e dx

⎟

⎜ +

+ 1

(

1 ) n

⎠

⎝ 0

h x

o

≥ 0

h + ⎞

⎛ − x

n h ∞ e dx

∑ ∫

⎟

⎜ =

− , da cui

( 1

) !

h h

⎟

⎜ +

+ 1

(

1 ) n

⎠

⎝ 0

h x

≥ 0

h −

− +

( 1

) ( )!

h x

∞

n h e dx

∑ ∫

= (3.16)

+

+ 1

! (

1 ) n

0

n x

≥ 0

h

Ponendo, n=0, nella (3.16), ritroviamo la (3.06).

Il 1° membro della (3.16) costituisce un’altra serie divergente, rappresentata,

per ogni n intero positivo, dal valore finito dell’integrale del 2° membro della (3.16).

− x

∞ e dx

∫

L’integrale E = l’abbiamo calcolato con diversi metodi nell’Appendice A.

+

+ 1

(

1 ) n

0 x

Il 1° membro della (3.16) possiamo trasformarlo nel seguente modo:

+ ⎞

⎛ +

( )! !

n h n h k

∑ ∑ ∑ −

⎟

⎜ = − −

− ( 1

) ( 1

)

( 1

) ! = n+h = k) = =

h h n k

h (

⎟

⎜ ! !

⎠

⎝ h n n

≥ ≥ ≥

0 0

h h k n

−

− ⎡ ⎤ − −

− −

1

1 1

( 1

) ( 1

) ( 1

) n

n n

n n ∞

∑ ∑ ∑ ∑ ∫ −

− − − − −

=

= ( 1

) ! ( 1

) ! +

( 1

) ! ( 1

) k k x

k k k

k k k x e dx

⎢⎣ ⎥

! ! !

⎦ 0

n n n ≥

≥ = = 0

0 0 k

k o k k

6

Utilizzando la (3.06), e tenendo presente la (3.16), ricaviamo:

− −

− −

− −

1 1 ( 1

)

( 1

) n x

x n n

∞ ∞ e dx

e dx ∑ ∫

∫ −

E = = + (3.17)

( 1

) !

k k

+ +

+ 1 ! 1

!

(

1 ) n

0 0

n x

n

x = 0

k

La (3.17) è una relazione reale, valida per n>0, ed è una formula ottenuta,

efficacemente, utilizzando serie divergenti.

Il risultato fornito dalla (3.17) è conforme a quelli ottenuti con i metodi applicati

nell’Appendice A. − t

∞ e

∑ ∫

− =

( 1

) !

k k

x k dt

3.06 Riprendiamo la relazione (3.12) +

1

0 tx

≥ 0

k

Abbiamo detto che essa risulta verificata per ogni x>1. , ricaviamo:

Pertanto, applicando, alla (3.12), l’integrazione di cui al punt