Una nota sullo studio di alcune particolari funzioni

Una nota sullo studio di alcune particolari funzioni

Cut-Der-3apc

Considerazioni ed osservazioni

di Pasquale Cutolo

p.cutolo@inwind.it

A note on the Study of some particular Functions.

Considerations and observations

Cutolo

By Pasquale

Sommario: In questo lavoro viene preso in esame lo studio delle seguenti Funzioni:

1 1

( 1

) ; ( 1

) ; ( 1

) ; ( 1

) ; ( )

− − − − −

z z z p z p z p

+ − + − +

e e e e e u

Abstract: In this work we examine the study of the Functions:

1 1

( 1

) ; ( 1

) ; ( 1

) ; ( 1

) ; ( )

− − − − −

z z z p z p z p

+ − + − +

e e e e e u

La funzione F(z)

A.1.01

Prendiamo in esame la Funzione:

1

( 1

) −

z +

e (A.1.01)

F(z) =

Sviluppando in serie la (A.1.01), abbiamo:

∑ ∑

1 (

1 )

( 1

) ( 1

) ( 1

)

− − − +

z z k zk k z k

F(z) = + = − = −

e e e e (A.1.02)

0 0

≥ ≥

k k 0 ad eccezione

La (A.1.02) è definita nel semipiano complesso ≥

R z

e

1

z

dei punti in cui = −

e

Derivando la (A.1.02), n volte, rispetto a z, otteniamo:

∑ ∑

( ) (

1 ) (

1 )

( ) ( 1

) ( 1 ) ( 1

) ( 1

) (

1 )

− + − +

n k n z k n k n z k

= − − − = − − +

F z k e k e (A.1.03)

0 0

≥ ≥

k k

1 ( )

(( 1

) )

−

z n

Lo sviluppo della Funzione può essere espresso nella forma:

+

e n

(n ) ∑

1 ( )

(( 1

) )

−

z n 1

F (z)= ( 1

) − −

z k

+

e = +

A e (A.1.04)

k

0

=

k 1

A rappresentano i coefficienti del polinomio indicato nell’ultimo membro

Le costanti k

a destra della (A.1.04); detti coefficienti dipendono da n e k, per cui abbiamo ritenuto

( , )

opportuno indicarli, usando una forma più espressiva, con C n k

1 .

Pertanto la (A.1.04) diventa: n

(n ) ∑

1 ( )

(( 1

) )

−

z n 1

F (z)= ( , ) ( 1

) − −

z k

+

e = +

C n k e (A.1.05)

1

0

=

k

Dal confronto tra la (A.1.03) e la (A.1.05), ricaviamo:

n

∑ ∑

(

1 )

( 1

) ( 1

) (

1 ) − +

n k n z k 1

( , ) ( 1

) − −

z k

− − + k e +

C n k e

= (A.1.06)

1

0 0

≥

k =

k ( , )

Abbiamo ritenuto utile calcolare i coefficienti , per n = 0,1,2,3,4,5,6, ottenendo

C n k

1

Il seguente triangolo (T1):

n=0, 1

n=1, -1 1

n=2, 1 -3 2

n=3, -1 7 . -12 6 (T1)

n=4, 1 -15 50 -60 24

n=5, -1 31 -180 390 -360 120

n=6, 1 -63 602 -2100 3360 -2520 720

A.2.01. Considerazioni ed osservazioni sul triangolo (T1)

Dall’esame del triangolo (T1), osserviamo che:

• La somma dei valori indicati in ciascuna riga orizzontale, per n da 1 a 6, è uguale a zero;

( , )

C n n = n!, come risulta osservando i valori indicati sul lato destro del triangolo (T1),

b) 1

per n da 1 a 6 ;

1

( ,

1

) ( 1

) ( 2 1

)

−

n n

= − −

C n

c) , come risulta osservando i valori indicati sulla prima riga

1 ( , 0 ) ( 1

) n

= −

C n

parallela al lato sinistro del triangolo (T1); 1 ;

d) i valori indicati sulla prima riga parallela al lato destro del triangolo (T1), sono dati da:

( , 1

) ( 1

) ( 1

, 2

) ( 1

) ( 2

, 3

) ;

− = + − − = + − −

C n n n C n n n nC n n

1 1 1

2 (

2

,

1

)

applicando detta osservazione a tutti i valori precedenti fino a C

1

otteniamo la relazione: ( 1

)!

+

n

( , 1

) ( 1

) ( 1

)... ( 2

,

1

) ( 1

) ( 1

)...( 3

) (A.2.01)

− = + − = + − − = −

C n n n n n C n n n

1 1 2

Nello svolgimento dei calcoli, abbiamo individuato due tipi di sviluppi in serie:

il primo è quello indicato dalla (A.1.02) che definiamo di tipo (a), l’altro, di tipo (b),

kz

e 0

è quello che conduce ad una serie i cui termini presentano un fattore , con ≥

k 1

( 1

) −

z

A.2.02. Considerazioni sullo sviluppo in serie di tipo (a) della funzione

+

e

Ponendo, nel membro a sinistra della (A.1.06), z = 0, troviamo:

∑ ∑

1

( 1

) ( 1

) (

1 ) ( 1

) ( 1

)

−

n k n n k n

− − + = − −

k k

0 1 ;

≥ ≥

k k

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

k

( 1

) ( 2 ) ( 2 1

) ( 2 ) (

2 )

n n n n n

− = − − − +

k k k k k =

1 1 1 1 1

≥ ≥ ≥ ≥ ≥

k k k k k

∑ ∑ ∑

1 1

2 ( 2 1

)

+ +

n n n n n ; (A.2.02)

= − = −

k k k

1 1 1

≥ ≥ ≥

k k k

Quindi, per la (A.1.06), abbiamo: n

∑ ∑ ∑

1 1 1

( 1

) ( 1

) ( 1

) ( 2 1

)

− − +

n k n n n n 1

( , ) 2 − − k

− − = − −

k k = C n k (A.2.03)

1

1 1 0

≥ ≥

k k =

k

Consideriamo il caso di n dispari.

Sostituendo, quindi, 2n-1 ad n, nella (A.2.02), abbiamo:

2 1

−

n

∑ ∑

2 2 1 1 , n=1,2,3,...

( 2 1

) ( 2 1

, ) 2

− − −

n n k

− = −

k C n k

1

1 0

≥ =

k k

Ricordando che la serie, che figura nel primo membro della relazione precedente,

viene rappresentata da: B

∑ 2 1 2

(

1 2 )

−

n n

= − = −

k Z n , (A.2.04)

2 n

1

≥

k B

∑

2 2 1 2

2

( 2 1

) ( 2 1

)

−

n n n

n

− = − −

k

otteniamo: 2 n

1

≥

k

Tenendo presente la (A.2.03), abbiamo: 2 1

− B −

n

∑ ∑

2 2

( 2 1

)

n 2 2 1 1

n ( 2 1

) ( 2 1

, ) 2

− − −

n n k

− = − = −

k C n k (A.2.05)

1

2 n 1 0

≥ =

k k 3

il numero di Bernoulli d’indice 2n, e Z(s) la funzione Zeta di Riemann.

essendo B 2 n ∑ 2 1

−

n

k

Osserviamo che non sempre la serie è rappresentata da Z(1-2n),

1

≥

k

come vedremo in seguito. 1

=

B

Possiamo verificare la (A.2.05) ponendo 2n = 6, ricordando che 6 42

e utilizzando i coefficienti del triangolo (T1); così operando abbiamo:

1 1 1

1 2 3 4 5 6

63 2 31

( 2

) 180

( 2

) 390

( 2

) 360

( 2

) 120

( 2

)

− − − − − −

− = − + − + − + = −

42 6 4

Per n pari, sostituendo 2n ad n, dalla (A.2.02) ricaviamo: (A.2.06)

2 n

∑ ∑

2 1

( 1

) ( 2 , ) 2 − −

k n k

− − =

k C n k

1

0 0

≥ =

k k

∑ 2 ( 2 ) 0

n

Ricordando che , dalla precedente relazione ricaviamo:

= − =

k Z n

1

≥

k

2 n

∑ 1

( 2 , ) 2 0

− − k (A.2.07)

=

C n k

1

0

=

k

Ponendo 2n = 6, utilizzando i coefficienti del triangolo (T1) e applicando la (A.2.07),

possiamo facilmente verificare che:

1 2 3 4 5 6 7

2 63

( 2 ) 602

( 2 ) 2100

( 2 ) 3360

( 2

) 2520

( 2

) 720

( 2

) 0

− − − − − − −

− + − + − + =

1

Ponendo, nella (A.1.06), , troviamo:

= −

i

π

=

z i , ( )

∑ ∑

k 1 1 1

( 1

) ( 1

) (

1 ) ( 1

) ( 1

) ( 1

) ,

+ − −

n n k n n n

− − + − = − = − ∞

k k

0 1

≥ ≥

k k

, relazione che rappresenta la famosissima formula di Eulero.

in quanto 1 0

π

i + =

e ∑ n

k

Osserviamo che in questo caso la serie 1

≥

k

non è più rappresentata dal valore finito fornito da Z(-n), ma la serie in parola assume

il suo valore naturale, cioè infinito. 4

1

( 1

) +

z n ambo i membri della (A.1.06), otteniamo:

Moltiplicando per +

e n

∑ ∑

1 (

1 )

( 1

) ( 1

) ( 1

) (

1 ) ( , )( 1

)

+ − + −

n z n k n z k z n k

− + − + = +

e k e C n k e

1

0 0

≥ =

k k

π

→

z i

Passando al limite per , troviamo:

lim ∑

1 (

1 ) (A.2.08)

( 1

) ( 1

) ( 1

) (

1 ) ( , ) !

+ − +

n z n k n z k

− + − + = =

e k e C n n n

1

π

→

z i 0

≥

k ∑ (

1 )

( 1

) (

1 ) − +

k n z k

Il limite, per , della serie non può avere un valore finito;

− + k e

π

→

z i 0

≥

k

se così fosse, il limite indicato nel membro a sinistra della (A.2.08) sarebbe uguale a zero,

ma sappiamo che esso presenta un valore finito; quindi:

lim ∑ ∑

k 1

∑ ( 1

) (

1 ) ( 1

) ,

+

n k n

(

1 )

( 1

) (

1 ) − + − = − = −∞

k k

− +

k n z k

− + =

k e

π

→

z i 0 1

0 ≥ ≥

k k

≥

k ∑ n

cioè = ∞

k

≥1

k

La (A.2.08) rappresenta un limite notevole.

Integrando, tra i limiti 0 ed infinito, i due membri della (A.1.02), otteniamo:

( 1

) k

−

∑ ∑

∞ ∞

∫ ∫

1 (

1 )

( 1

) ( 1

)

− − +

z k z k

+ = − =

e dz e dz , ma:

1

0 0 + k

0 0

≥ ≥

k k

− z

e dz

1

∞ ∞

∫ ∫ ∫

1

( 1

) ( ) ln 2

− −

z z

+ = = = = =

e dz dz e t ,

1

1 − z

0 0 0 + z

+ e

( 1

) k

−

∑ ln 2

=

Abbiamo, quindi: 1 + k

0

≥

k

formula ben nota 1

( 1

) −

z

A.2.03. Considerazioni sullo sviluppo di tipo (b) della funzione

+

e

Riprendendo la (A.1.01), e sviluppando la F(z) in modo diverso dalla (A.1.02), otteniamo:

1

 

−

∑ ∑

 

1

( 1

) ( 1

)

zk

−

z k zk

= =

e

+ −

e e

F(z) =   (A.2.09)

 

k

0 0

≥

k ≥

k

La serie indicata nell’ultimo membro della (A.2.09) è definita nel semipiano complesso

0 1

z

, ad eccezione dei punti nei quali

≤

R z = −

e

e 5

∑ ( 1

) k zk

, la serie tende a zero per k>0;

Passando al limite per − e

→ −∞

z 0

≥

k

0 0 1

− ∞

ma per , abbiamo , quindi

→

k → −∞

z →

e

, lim ∑ ( 1

) 1

k zk

− =

e

→ −∞

z 0

k ≥

Derivando la (A.2.09), n volte, rispetto a z, ricaviamo:

∑ ∑

1 ( )

(( 1

) ) ( 1

) ( 1

)

−

z n k n zk k n zk

+ = − = −

e k e k e

0 1

≥ ≥

k k

Tenendo presente la (A.1.05), otteniamo:

n

∑ ∑

( 1

) k n zk 1 (A.2.10)

( , ) ( 1

)

z k

− −

− k e = +

C n k e

1

1 0

≥

k k =

→ −∞

z

Per, , dalla (A.2.10) troviamo che il primo membro è uguale a zero, e quindi:

n

∑ (A.2.11)

( , ) 0

=

C n k

1

0

k = A.2.01

Rimane così confermata l’osservazione indicata nella lettera a) di cui al punto

π

=

z i

Ponendo, nella (A.2.10), , troviamo:

∑ n (A.2.12)

= ∞

k

≥1

k

Anche in questo caso la serie a sinistra della (A.2.12) riprende il suo valore naturale.

∑ n

k

Pertanto la serie a volte è rappresentata da un valore finito ed altre volte

≥1

k

assume un valore infinito. ∑ n

k

Sarebbe, quindi, interessante conoscere, a priori, quando la serie assume un valore finito,

≥1

k

e quando assume il valore infinito. 1

( 1

) +

z n

Moltiplicando, ambo i membri della (A.2.10), per , e passando al limite

+

e

per troviamo:

π

→

z i , lim ∑ ( 1

) ( , ) !

k n zk

1 (A.2.13)

( 1

)

z n

+ − = =

k e C n n n

+

e 1

π

→

z i 1

≥

k

La (A.2.13) rappresenta un altro limite notevole. 6

Calcolo dei coefficienti C(n,k)

A.3.01

( , )

A.3.01 -Calcolo dei coefficienti C n k

1 1 − t

1 ,cioè ricaviamo:

1 −

z

Ponendo, nella (A.1.06), z

+ =

e t =

e ,

t

n

∑ ∑

1 1

( 1

) ( 1

) (

1 ) (

1 )

n k n k k

+ − − 1

( , ) k

+

− − + −

k t t C n k t

= , da cui

1

0 0

k ≥ k =

n

∑ ∑

1

( 1

) ( 1

) (

1 ) (

1 )

n k n k k

− − (A.3.01)

( , ) ( ) k

− − + − =

k t t C n k t

1

0 0

k ≥ k =

( )

Derivando, la (A.3.01), m volte, , rispetto a t, e ponendo dopo t = 0, otteniamo:

≤

m n

 

m m n

∑ ∑ ∑

( ) 1 ( )

 

( 1

) ( 1

) (

1 ) ( ) ((

1 ) ))

− − −

n k n k p k m p ( )

( , )( )

k m

− − + − =

k t t

  C n k t

1

 

p

0 0 0

≥ =

k p k =

( )

( )

k p

Ricordando che , nel punto t=0, è diverso da zero solamente quando p = k, ricaviamo:

t   ( 1 )

m Γ − + +

m k k

∑  

( 1

) ( 1

) (

1 ) ! ( , ) !

n k n (A.3.02)

− − + =

k k C n m m

  1

( 1

)

 

k Γ +

k

0

≥

k  

m m

∑  

( , ) ( 1

) ( 1

) (

1 )

n k n (A.3.03)

= − − +

C n m k

da cui  

1  

k

0

=

k  

n n

∑  

( , ) ( 1

) ( 1

) (

1 ) !

n k n

= − − + =

C n n k n

Per m = n, troviamo:  

1  

k

0

=

k 



n n

∑  

( 1

) (

1 ) ( 1

) !

k n n (A.3.04)

cioè: − + = −

k n

 

 

k

0

=

k 1





1

− −

n n

∑  

( , 1

) ( 1

) ( 1

) (

1 )

n k n (A.3.05)

− = − − +

C n n k

Per m = n -1, abbiamo:  

1  

k

0

=

k A.2.01),

Tenendo presente quanto indicato nella lettera d) delle osservazioni (punto

che si concretizza nella relazione (A.2.01), ricaviamo la seguente interessante formula:

1

 

1 ( 1

)!

− −

n n +

n

∑  

( , 1

) ( 1

) ( 1

) (

1 )

n k n (A.3.06)

− = − − + = −

C n n k

 

1 2

 

k

0

=

k

( , 0 ) ( 1

) n

= −

C n

Per m =0, 1 1

 

1

∑ 1

 

( ,

1

) ( 1

) ( 1

) (

1 ) ( 1

) (

1 2 ) ( 1

) ( 2 1

)

−

n k n n n n n

= − − + = − − = − −

C n k

Per m = 1, abbiamo:  

1  

k

0

=

k 7

valore identico a quello indicato nella lettera c) delle osservazioni.

 

m m

∑  

( 1

) (

1 ) 0

k n (A.3.07)

Per m > n, otteniamo: − + =

k

 

 

k

0

=

k 1 ( )

((

1 ) )

k m k

− − −

Nel calcolo della Funzione abbiamo applicata la formula

− t

( )

Γ +

p s

( ) .

((

1 ) ) (

1 )

− − −

s p s p ∞

− = −

t t ∫ 0

1

( )

, essendo −

z t >

R z

,

Γ =

z t e dt

( )

Γ s e

0

la quale rappresenta la Funzione di Eulero di seconda specie.

Tenendo presente la (A.2.05) e la (A.3.03), otteniamo:

 

2 1 2 1

2 − −

n n k k

n n

∑ ∑ ∑

1 2 1

 

2 ( 2 1

, ) 2 ( 1

) (

1 )

− − − −

k k j n (A.3.08)

= − = − +

B C n k j

 

2 1

2 2

n 2 1 2 1

n n  

j

− −

0 0 0

= = =

k k j

Per n = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, troviamo che

1 1 1 1 5 691 7 3617 43867 174611

, , , , , , , , ,

= − − − − −

B 2 n 6 30 42 30 66 2730 6 510 798 330

Utilizzando la (A.3.03), dalla (A.1.05) ricaviamo: