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Sistemi di controllo e modellazione

Concetti introduttivi sui sistemi

In un sistema: Gli input sono gli ingressi e i disturbi

In un sistema dinamico: Le uscite dipendono dagli ingressi passati e dall'ingresso attuale

Un sistema di controllo: È la fusione tra strategia e tecnologia necessarie affinché il sistema svolga il suo compito

La decomposizione gerarchica di un sistema: Non definisce il comportamento del sistema

La decomposizione funzionale di un sistema: Evidenzia le relazioni causa-effetto esistenti tra gli elementi del sistema

Il processo di analisi e controllo di un sistema dinamico: Prevede le fasi di modellazione, esplorazione e ricerca delle metodologie

Nell'orologio ad acqua di Ctesibio: Il controllo consiste nel regolare in modo automatico il flusso d’acqua

Nel regolatore di Watt per motori a vapore: Ad un aumento della velocità del motore corrisponde un aumento della forza centrifuga agente sulle sfere metalliche

Nel sistema di puntamento dei mulini a vento: Il rotore di supporto viene installato con le pale in direzione perpendicolare con le pale del mulino

Un sistema SCADA: È un dispositivo utilizzato per differenti applicazioni di controllo industriale

Impianti industriali e controllo industriale

Un impianto industriale: È un insieme coordinato di elementi che cooperano per ottenere un prodotto finito

Le trasformazioni su un semilavorato: Possono essere di natura fisica e di natura chimica

Un processo industriale: È l'insieme coordinato di trasformazioni e trasmissione di energia, materiali e informazioni finalizzato alla realizzazione di un prodotto

Un sistema di controllo industriale: Deve essere in grado di interagire con il processo da controllare tramite sensori e attuatori

La produzione integrata di fabbrica: Definisce una struttura gerarchica per il sistema di controllo di una fabbrica

Le informazioni scambiate all'interno del sistema fabbrica: Consistono in dati funzionali, di prodotto, operativi e di performance

Nell'Industria 4.0: L'approccio ai sistemi di controllo risulta essere ibrido

Il dispositivo SCADA: Svolge le funzioni di acquisizione dati, supervisione e controllo di processo

Il dispositivo PLC: Può essere programmato

Il dispositivo DCS: Presenta un numero variabile di elementi dotati di autonomia propria

Controreazione, sensori e robustezza

L'obiettivo di un sistema di controllo è: Di mantenere l’andamento temporale delle variabili controllate il più simile possibile all’andamento dei segnali di riferimento

Un sistema a controreazione: Monitora la grandezza in uscita e la prende come riferimento per l’azione di controllo

Un sistema si dice stabile quando: Se a fronte di una perturbazione il sistema torna nelle sue condizioni iniziali

L'automatica può essere suddivisa in: Modellazione, studio delle soluzioni, modifica e controllo

Il segnale di riferimento: Corrisponde all'uscita che si desidera ottenere

L'attuatore: Amplifica e trasforma l'output per effettuare il controllo

Nel controllo del livello di liquido il sensore è: Il galleggiante

I disturbi in un controllo automatico di temperatura sono: L'ingresso e l'uscita dell’acqua

Il disturbo in un controllo del moto di un velivolo è rappresentato da: Resistenza

Nella descrizione dei sistemi di controllo: La rappresentazione con relazioni matematiche descrive quantitativamente il comportamento del sistema

Un sistema è: Un insieme di componenti che agiscono in modo coordinato per ottenere un determinato comportamento non ottenibile dai singoli componenti isolati

La controreazione è: Il processo con cui l’ingresso di un elemento viene alterato dalla sua uscita

Nel sistema di controllo della temperatura corporea: L'elemento di controreazione fornisce i valori rilevati dai ricettori termici

Nei sistemi lineari: Il legame tra le variabili che lo caratterizzano è del tipo y=kx+q

Le variazioni parametriche interne: Possono dipendere da cause interne ed esterne al sistema

I disturbi: Sono trattati come ingressi di cui non si ha alcuna informazione

Un sistema di controllo è robusto se: Presenta una buona reiezione ai disturbi e una bassa sensibilità alle variazioni parametriche

La controreazione nei sistemi di controllo: Ne aumenta la robustezza

Secondo il principio di sovrapposizione degli effetti: È possibile risolvere un problema lineare analizzando separatamente ciascuna delle componenti

Il guadagno di un sistema di controllo è: Il rapporto tra la grandezza d'uscita e quella d’ingresso

Modelli e modellazione

Un modello: Descrive un oggetto, o un processo, della realtà tramite un linguaggio simbolico

Secondo il metodo dell'analogia: Uno stesso modello può rappresentare fenomeni diversi, fra i quali esiste una omologia strutturale e di funzionamento

Un modello comportamentale: Può essere una descrizione a parole del processo

Utilizzando la modellazione: È possibile avere una maggiore comprensione del processo da analizzare

I modelli matematici: Sono costituiti da equazioni che descrivono in modo semplificato i fenomeni del mondo reale

In un sistema dinamico: Il valore assunto dalle uscite al tempo t dipende dalla storia degli ingressi

In un modello deterministico: Sono noti le condizioni iniziali e l’ingresso ed è possibile determinare univocamente l’uscita

In un modello stazionario: È possibile trascurare le variazioni che dipendono dal tempo dei parametri del sistema

In un modello causale: Il segnale di uscita all'istante t dipende dal valore del segnale di ingresso all’istante t e dai valori negli istanti precedenti a t

In un modello a parametri distribuiti: Viene considerata sia la dipendenza temporale sia quella spaziale delle variabili

Sistemi elettrici, meccanici e termici

Le leggi di Kirchhoff: Rappresentano le equazioni di equilibrio di un sistema elettrico

I nodi sono: I punti in cui si incontrano almeno tre rami di una rete

Secondo la legge di Kirchhoff delle tensioni: In una maglia la somma algebrica degli incrementi di potenziale è uguale alla somma delle diminuzioni di potenziale

Il condensatore è un componente elettrico che: Immagazzina l'energia in un campo elettrostatico

L'induttore è un componente elettrico che: Genera un campo magnetico al passaggio di corrente

Il principio di equilibrio delle forze: È utile per rappresentare le equazioni di equilibrio di un sistema meccanico

L'attrito: Caratterizza un elemento che dissipa energia

Nel sistema massa-molla-smorzatore la forza elastica: Si oppone alla forza in ingresso

Il principio di bilancio termico: È utile per rappresentare le equazioni di equilibrio di un sistema termico

Il principio di bilancio termico afferma che: La somma algebrica del calore entrante, di quello uscente e di quello accumulato dal sistema sia zero

Trasformata di Laplace e piano complesso

Le trasformazioni funzionali: Creano una corrispondenza biunivoca tra la funzione oggetto, nel dominio del tempo, e la funzione immagine, nel dominio della variabile trasformata

Grazie alla trasformata di Laplace: Le equazioni differenziali possono essere trasformate in equazioni algebriche che sono di più agevole soluzione

Un qualsiasi numero complesso s può essere rappresentato in: Forma cartesiana come s=σ+jω, con σ parte reale e ω parte immaginaria

I punti del piano polare e i punti del piano di Gauss coincidono quando: L’origine dei due piani è la stessa e l'orientamento dell'asse reale del piano di Gauss corrisponde ad un valore nullo della fase nel piano polare

La corrispondenza tra il piano di Gauss e il piano polare è espressa dalle relazioni: σ=ρcosφ e ω=ρsinφ

Nell'analisi dei sistemi si ha che: Un medesimo sistema di controllo, se sollecitato da ingressi diversi, presenta uscite diverse

Dalla definizione di impulso matematico si evince che: È maggiore di 0 per t=0

Dalla definizione di rampa unitaria del secondo ordine si evince che: È uguale a t per t>0

Si definisce integrale di Laplace la seguente relazione: F(s)=L[f(t)]=∫[f(t)e^(-st)]dt

La trasformata di Laplace del segnale a rampa unitaria del secondo ordine vale: 1/s²

Una condizione sufficiente per cui una funzione f(t) sia trasformabile secondo Laplace è che: La funzione f(t) deve essere continua a tratti per t>0

La trasformata di Laplace della rampa unitaria di ordine k vale: 1/s^k

La formula generale utilizzata per la trasformata di Laplace di un qualsiasi segnale di ingresso è: N!/[(s-a)⁽ⁿ⁺¹⁾]

Secondo la proprietà di linearità che caratterizza la trasformata di Laplace: L[kf_1(t)+kf_2(t)]=kF_1(s)+kF_2(s)

Secondo la proprietà di traslazione nel tempo che caratterizza la trasformata di Laplace: L[f(t-T)]=[e^(-Ts)]F(s)

La trasformata di Laplace della derivata generalizzata è definita come: L[(d/dt)f(t)]=sF(s)-f(0^-)

Secondo la proprietà di derivazione complessa che caratterizza la trasformata di Laplace: La moltiplicazione per t di una funzione f(t) nel dominio reale, comporta la derivazione, nel dominio complesso, della funzione trasformata cambiata di segno

Secondo la proprietà di integrazione complessa che caratterizza la trasformata di Laplace: La divisione per t, nel dominio reale, della funzione f(t), comporta l’integrazione, nel dominio complesso, della funzione trasformata

Secondo il teorema del valore iniziale della trasformata di Laplace: Il limite, per t che tende a zero, di f(t) nel piano reale, corrisponde al limite per s che tende a infinito di sF(s)

Tutte le radici del polinomio caratteristico sono poli semplici se: Si verifica che p_i≠p_j per qualsiasi coppia di indici i e j, con i≠j

Equazioni differenziali

Le equazioni differenziali: Racchiudono tutte le caratteristiche fondamentali del comportamento di un sistema

Un'equazione differenziale: Lega una funzione incognita alle sue derivate

La primitiva di una funzione: Corrisponde ad una funzione derivabile, la cui derivata è uguale alla funzione di partenza

La funzione incognita dipende da più variabili, quindi: Le derivate da cui è caratterizzata sono derivate parziali

Il problema di Cauchy: Consiste nel porre delle condizioni iniziali o delle condizioni al contorno dell’equazione

Data l'equazione differenziale y'=f(x): Le soluzioni sono y(x)=F(x)+c

Le n condizioni iniziali di un problema di Cauchy: Corrispondono ai valori della funzione incognita e delle sue derivate fino all'ordine n-1

Il problema di Cauchy associato ad un'equazione differenziale di ordine n: Presenta n condizioni iniziali

Le equazioni differenziali ordinarie del primo ordine sono nella forma: Y’=f(x,y)

Le equazioni differenziali a variabili separabili sono nella forma: Y’=f(x)g(y)

Un’equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale è del tipo: Y’=a(x)y+b(x)

Se un'equazione differenziale è omogenea: Allora il termine forzante è nullo

Se il termine forzante non è nullo: Allora l'equazione differenziale non è a variabili separabili

Un’equazione differenziale lineare del secondo ordine è della forma: Y’'+ay'+by-c(x)=0

Un’equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine è della forma: Y’'+ay'+by=0

Data un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine nell'incognita y: Si definisce l'equazione caratteristica associata considerando λ^k=y^(k)

In un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine: Se il Δ dell'equazione caratteristica associata risulta Δ>0, allora ammette due soluzioni reali distinte

L’integrale generale di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea è dato: Dall'integrale particolare dell'equazione non omogenea e dall'integrale generale dell'equazione omogenea associabile

Nella ricerca di un integrale particolare delle equazioni non omogenee: Si studia la forma del termine forzante

È possibile determinare l’integrale particolare dell’equazione non omogenea: Imponendo che verifichi l’equazione non omogenea y’'+ay'+by=c(x)

Ai fini della realizzabilità fisica di un sistema: L'ordine massimo dell'equazione differenziale non è minore dell'ordine massimo delle derivate dell’ingresso

Per poter integrare in forma compatta un'equazione differenziale, si deve conoscere: Le condizioni iniziali e il segnale di ingresso

Funzione di trasferimento e risposta dei sistemi

Dato un sistema lineare e stazionario: Ponendo a zero l'ingresso si ottiene l'evoluzione libera

In un sistema causale: Ponendo a zero l’ingresso, l’evoluzione futura dipende solo dallo stato iniziale

La trasformata di Laplace dell'uscita di un sistema: Corrisponde alla trasformata della risposta in evoluzione forzata

La funzione di trasferimento di un sistema: È il rapporto tra la trasformata di Laplace dell’uscita e la trasformata di Laplace dell’ingresso

L'equazione caratteristica: Corrisponde al polinomio a denominatore della funzione di trasferimento

Per convenzione si considera che: Le radici del denominatore della funzione di trasferimento sono dette poli

Una funzione razionale fratta si dice strettamente propria se: Se il grado del polinomio a numeratore è minore del grado del polinomio a denominatore

La struttura della scomposizione in fratti semplici: Dipende solo dal denominatore della funzione di trasferimento

La risposta di un sistema è data dal prodotto di convoluzione tra: L'antitrasformata della funzione di trasferimento e la funzione di ingresso espressa nel dominio del tempo

Il denominatore della trasformata di Laplace della risposta di un sistema è caratterizzato da: I poli della funzione di trasferimento e i poli della funzione in ingresso

Le caratteristiche della risposta di un sistema dipendono: Dalla posizione dei poli dell’ingresso e dei poli del sistema

La risposta impulsiva si ottiene: Antitrasformando, secondo Laplace, la funzione di trasferimento del sistema

Gli integrali di convoluzione associati alla risposta impulsiva di un sistema: Esprimono la risposta forzata del sistema a qualunque segnale di ingresso

La risposta, non divergente, di un sistema nel dominio del tempo può essere espressa come: La somma di risposta permanente e risposta in transitorio

Data la risposta, nel dominio di Laplace, di un sistema Y(s)=W(s)U(s) si ha che: La risposta a regime rappresenta il contributo dovuto al segnale di ingresso U(s)

Nella scomposizione in poli e residui della funzione di trasferimento di un sistema: La posizione dei poli caratterizza il comportamento dinamico di un sistema

Grazie alla risposta indiciale di un sistema è possibile definirne: Il tempo di assestamento Ta

La funzione di trasferimento del sistema massa-smorzatore, in cui la forza esterna corrisponde ad un segnale a gradino, è: 1/[s²(Ms+D)]

Schemi a blocchi e algebra dei blocchi

È possibile ottenere la rappresentazione di un sistema tramite schema a blocchi: A partire dal modello matematico del sistema stesso

La rappresentazione mediante schema a blocchi di un sistema: Non è legata alle caratteristiche fisiche del sistema stesso

Ogni funzione presente nel modello matematico di un sistema è rappresentata, nello schema a blocchi associato, da: Un blocco

Nella rappresentazione di un sistema mediante schema a blocchi, ogni blocco è caratterizzato da: Un solo ingresso e una sola uscita

Nella rappresentazione di un sistema mediante schema a blocchi, ogni nodo sommatore è caratterizzato dalla proprietà che: La variabile associata al ramo di uscita è data dalla somma algebrica delle variabili associate ai rami entranti

In una rappresentazione con schemi a blocchi di un sistema, la riduzione di due blocchi in cascata, le cui costanti di proporzionalità sono rispettivamente K1 e K2, prevede che: K1 sia moltiplicata per K2

La riduzione di due blocchi in parallelo, le cui costanti di proporzionalità sono rispettivamente K1 e K2, prevede che: K1 sia sommata a K2

L'eliminazione di un anello in controreazione, in un sistema in cui le cui costanti di proporzionalità in catena diretta e inversa sono rispettivamente K1 e K2, prevede che: Il blocco risultante ha una costante di proporzionalità pari a K1/(1±K1K2))

Lo scambio di posizione di sommatori, nell'algebra degli schemi a blocchi, equivale: All’applicazione della proprietà distributiva valida per i sistemi lineari

Nell'algebra degli schemi a blocchi, lo spostamento di un nodo di diramazione a monte di un blocco K: Prevede che in ogni ramo in uscita dalla diramazione sia presente il blocco K

Nella rappresentazione dei sistemi tramite schemi a blocchi, la trasferenza: Associata ad un blocco corrisponde al legame matematico esistente tra le grandezze entranti e quelle uscenti dal blocco stesso

Le grandezze che figurano negli schemi a blocchi si considerano: Funzioni della variabile di Laplace così che la grandezza uscente dal blocco si calcola come il prodotto tra la grandezza entrante e la trasferenza del blocco

La rappresentazione tramite schemi a blocchi in forma minima di un sistema corrisponde a: Un numero di blocchi pari al prodotto tra il numero degli ingressi e il numero delle uscite

Nell'algebra degli schemi a blocchi, lo spostamento di un nodo sommatore a valle di un blocco K: Prevede che in ogni ramo in ingresso al nodo sia presente il blocco K

Sistemi a controreazione in forma minima

In un sistema di controllo a controreazione in forma minima caratterizzato da una trasferenza G(s) sul ramo diretto e una trasferenza H(s) nel ramo inverso: La funzione di trasferimento a ciclo aperto corrisponde alla relazione F(s)=G(s)H(s)

In un sistema di controllo a controreazione in forma minima caratterizzato da una trasferenza G(s) sul ramo diretto e una trasferenza H(s) nel ramo inverso: La funzione di trasferimento a ciclo chiuso corrisponde alla relazione W(s)=Y(s)/U(s)=G(s)/[1+G(s)H(s)]

In un sistema di controllo a controreazione in forma minima caratterizzato da una trasferenza G sul ramo diretto e una trasferenza H nel ramo inverso, la relazione che lega la funzione di trasferimento a ciclo aperto con quella a ciclo chiuso è: W(s)=G(s)/[1+F(s)]

Nella rappresentazione dei sistemi di controllo