Tutti i test analisi matematica II

Analisi matematica II

Domande ed esercizi

• Determinare il limite puntuale della seguente successione di funzioni e stabilire se la convergenza−( ) [0,1]=, ∈ è uniforme:
• La successione di funzioni fn(x) = 3x/n
• La successione di funzioni fn(x) = 1/n
• La successione di funzioni fn(x) = 1
• Una serie di potenze altro non è che una particolare serie di funzioni.
• Sia fn una successione di funzioni. Si dice che fn converge in un punto x0
• La convergenza uniforme implica ( ) (1 )= − La successione di funzioni, x appartenente a [0,1]
• La convergenza puntuale
• Il criterio generale di convergenza di una serie
• Per rappresentare graficamente una funzione i due variabili esistono le seguenti due possibilità:
• 2 2(, ) = log (1 − − ):
• Si determini e si disegni l’insieme di definizione della funzione
• 2 2 2 2
• Un’applicazione F: R -> R è una legge che associa ad un punto di R un altro punto di R: quindi ad una coppia di coordinate (x, x) corrisponde un’altra coppia (y, y) = F(x, x); tale scrittura sta a 1 2 1 2 1 2 significare ∈ ∈
• Per ogni z C possiamo considerare una funzione f: C -> C come una funzione che a z associa wC. Ricordiamo che ad ogni z = x + iy possiamo associare un punto di R² di coordinate (x, y), e se w=a+ib gli possiamo associare il punto di R² di coordinate (a, b). Quindi alla funzione f’ è associata 2 una funzione -che continuiamo a chiamare f- definita e a valori di R, che ad un punto (x, y) associa un punto (a, b) cioè f(x, y) = (a, b); per cui rimangono definite due funzioni u, v: R² -> R tali che a = u(x, y) e b = v(x, y), e f(z) = u(x, y) + iv(x, y).
• Possiamo individuare ogni punto del piano usando le coordinate cartesiane, ma possiamo anche = = = usare le coordinate polari, cioè si usano le trasformazioni 2 2( ) + ∈ [0, 2]. Quindi r è la distanza del punto di coordinate (x, y) dall’origine
• Le derivate parziali sono utili nella ricerca dei punti di massimo e di minimo delle funzioni di due variabili
• Selezionare la definizione esatta: ∈ I e f è la differenziabile in (x(t), y(t)) ∈ A, allora
• Se le funzioni x(t), y(t) sono derivabili in t
• Determinare lo sviluppo di Taylor di secondo grado centrato nell’origine della seguente funzione:
• Determinare le linee di livello e l’immagine della seguente funzione f(x, y) = 2x – 5y:
• 3 t 2
• Sia r: l -> R definita da r(t) = (cost + π, e – 1, si t ). Quale è lim t->0 r(t):
• m m∈ ∈
• Sia r: I → R con I intervallo di R. Sia t0 I e sia l R. Si dice che limt→t0 r(t) = l se limt→t0 |r(t)-l|= 0:
• Si dimostra che molte delle proprietà dei limiti per funzioni reali di una variabile reale si estendono in maniera immediata nel caso di funzioni a valori vettoriali, come ad esempio il 3 4 2
• Calcolare (se esiste) il seguente limite: lim(x,y)→(0,0) (x y/x + y ):
• Sia F la successione di Fibonacci definita per ricorrenza da F = 0, F = 1, F = F + F per n ≥ 1. Il n 0 1 1+n n n-1 suo insieme di convergenza è
• Sia F la successione di Fibonacci definita per ricorrenza da F = 0, F = 1, F = F + F per n ≥ 1: n 0 1 1+n n n-1
• Una funzione vettoriale f = (f, ... , f) ha limite se, e solo se, ogni sua componente f ha limite reale 1 m j per ogni j = 1, ... , n:
• Se una funzione f ha limite l = 0 non si può concludere nulla sul segno locale di f
• Indicare il nome del Teorema che lega il limite di una funzione composta ai limiti delle funzioni componenti
• Data una funzione in due variabili indipendenti f(x, y) la derivata parziale rispetto a x è:
• Data una funzione in due variabili indipendenti f(x, y) la derivata parziale rispetto a y è:
• Una funzione parzialmente derivabile:
• Nel caso di funzioni in due variabili indipendenti, ognuna delle due derivate parziali prime può essere derivata rispetto alle due variabili indipendenti:
• Nel caso di funzioni in due variabili indipendenti, la funzione avrà 4 derivate parziali seconde. Quali delle seguenti è una delle 4 derivate parziali seconde:
• n
• La derivata direzionale di una funzione f: R -> R, calcolata lungo la direzione w individuata da un punto W su un asse cartesiano, si dice derivata parziale
• Se L è un differenziale per f in x allora f ammette derivata direzionale lungo un qualunque vettore 0 v:
• Se f è differenziabile in x, allora f 0
• Se la derivata parziale, rispetto a una variabile, in un punto è grande (in valore assoluto), allora:
• Data la funzione f(x, y) = x² + 7 x + y², calcolare la derivata parziale rispetto a x e la derivata parziale rispetto a y.:
• Una funzione composta è una funzione che ha come argomento:
• Funzioni a due variabili composte mediante funzioni continue
• Se una funzione a due variabili è derivabile, le sue derivate sono:
• Data una funzione f(x, y) a due variabili, con fxx si indica:
• Data una funzione f(x, y) a due variabili, con fyy si indica: l
• Data una funzione f(x, y) a due variabili, con fxy s