Tutte le dimostrazioni e definizioni di Analisi 1 per orale

Sommatorie notevoli

Somma primi numeri n è {§ -101100)nlnt 'K es= 2.2K -1-

Somma della progressione geometrica § qn +19k 1- tq -1-1= 1- qK -0- Ì ")(1-È % ÈÈ È ÈÈf-" {(E) + ++= +9=12 qk =es == §. , 1K -:OÈ " 10+1+17 (? " )OSS 1 19=1se 1nt ntisono mo= =. . ..£ ( )(CER n +1no(OSS = -:. K ho=InformaleDIM allora9=11poiché. ,[ "qn" " {1- qk9 ( 9) 1-qk 1- == q4- 1O -9)( " 9){ (( -9/-9/-791+9/+9/7 -9/-9^+1=1)9 90+9^+9 ?1- 1- qn qn "= + = -- .. . -. .tmoltiplico te -9perperformate sommatoriadelleDIM proprcon .. È È "qn" "1- qk9 ( 9) 1-qk 1-allora9=11poiché == :OKq4- 1O - nel .gr/+qnt1=Eqk+qnt1Èqk 'E +9794=1@?E "9 29 + . .+1 = .. KM. 4=11n =

Additività e linearità

Additività: "¥"£ "" """" """" " "" " "" """ """ " =" " ^f µ K:O Ken1 2K :O-0K -0R- -

Linearità sost indici :. ntt+1n EqhÈ qkmotoE indiceqk +1 →= =t h K-1-1-no Èiho{ tetti { 1- -- - yÉihK'" ha-1 ntl ==

V2Q non contiene Q

V2QDIN CONTIENENON. c' QSe CEIR allora2ce e =c' " "" " QIR ce2p qce= ==, E-assurdo CEQsupponiamo 2per non ⇐qpvero e eabbiamodim qst dirmiassurdo cheèchese p q. ' c'c)xke f- 2• c > o = = tra7- ed lorodeve scegliere primi• essere doverazionalec possiamoC un nm= NÉc' 2¥mi2 =D• M pari#== = t èdiPARI di pari pariprima inm se =D. 24k2ktquindi >allora2K 'mi n'=mi= ( In =D⇐ 2k n== = t tPARI PARI ASSURDO :→numeritra 2loro entrambiprimierano tra esserepossonom loron primi PARI a.e e non .

CONSEGUENZE ha' sol QAnaliticamente 2 innon✗1 : =Geometricamente biunivoca punti TettaiQ corrispondenza2 di: conè unanon inc' 12+12=2 teorema vistoQx☒ il= ,i : - - iii. corrispondenza razionaleP conè uninnon§j ; ; .Per questo introdottistati realiisono . 2'

Teorema minimo dell'unicità

DIM TEOREMA MINIMODELUNICITADI. esistono)(supponiamo MINEabbiaE mine allorache per assurdosia #uniconon mi Ma =eHEEE ERMZEE{ ExMimin Mi=Dma 1= . EEMi2 .{ HEE EsmeeMaMINE =DEx1 Ma= ⇐ma .2 EEMa. la PRC- EmiMa Ma HAMr ANTImi SIMMETRICA MiMase =pere .

Valore assoluto

Valore assoluto 1×1 70{ se✗ ✗= }#€✗se✗ <o✗- )(1×1=7 7± carie✗ 0>→ = 001×1<-7 { e <[ 0✗O == EC-E2 → ✗o>1×1>-7 WEIR{ 2=0E ruxzrE> o ✗ -

Disuguaglianza triangolare

Disuguaglianza triangolare. YI/ Kitty YERE /✗ + × , I the-1×1 141-141<-4/E R anche c-Echeosservo ✗ ✗ eIl -1×1-141 +4<-1×1+141Esommo ✗"(1×1+141)- )( prendendo 7--1×1+141>-0solsapendo che 1×1 -2 ErEr 2 Eha> econ ✗o come 1×1+1411×+41 Eallora E C- Er *r✗ y =+-

Monotonia

Monotonia fan Axa)crescente funzioni) le✗ costantiltxnse C- E< NB le✗in✗ : sonoaa, ,decrescente far)fan f✗ )ltxn a unichese C- < ✗ che decrescein cresc✗ siaaa, .,flxz)fan) > / ÉÈ.%È AxaRai )>| ).× > ✗ a × ×.. .. ✗* < a;ÈÉÉ •:< \' ו • ×; decrStrettcrescenteStrett cresc ... &'

Invertibilità delle monotone

DIM delleINVERTIBILITA MONOTONE. f X-D f monotonaStrettiniettiva)(& hamonotona cheStreitè cihdcrse si .. flx)invertibilef iniettivaè quindi sus . "f &tipoStrett maratona stessoè dello di2 .. f Strett crescentesupponiamo . txn )fcxzfanEX )haè) chedm =\INIETTIVA( cioèi ^ ✗ si✗ #✗ 2ea,. ,,fan far)flxa fan)che ) )>osservo =\=D> ✗✗• i a d'ho M ^→ .fan fan) )fan fcxz )< ) =D<✗• ✗ ^ 2 f-f ^) crescenteè cheIii ^ dirmidevoè StrettDato f-7 fa è)che INVERTIBILE ✗INIETTIVA →: : .,Per suppongoassurdo : "fa tali f-) f-'E)(741,42 )2 cheE (ya< yzyncon ynfa fan (f )) )che✗3- YztaleE C- x2⇐yz41 un =✗ e✗ =^ a,,sostituendo 2 devein essere : "f f- ')fcxz) )) ('fan ( (=f- "( ya) fanf) I )< fcxz ASSURDOZxz)< ⇐y conya ✗ya, f crescenteStrettperché . Lan fcxz )) fcxzNON fan)deve > <)essere>se ✗xn e2 ↳f- Strett crescente^dunque è •.¢

Potenza ennesima in n

Potenza ennesima INn - ]sincro)[ ( )qnzn ino +cos= { }twcomplesso ZnZo Zile diradici n insiemesonoesime ^un -=:un- ...,,calcolo delle radici esimen :- IUREDE MO Diu .)( % +2%-1f- /)TÈTre ( i+ K+ZK 0sin da -1concos na=" trigforma-2 -2W scrivo we in= ., ( ]isinq)( ]0)accasati Tilt7 cosa essere2- possonoysinow maie in -+= =,formulala la potenzauso n esima :per -" Sing)(( )(" sincro)) ii r cosqnocos2- wa + += == " argomentigli2 ugualiquesta moduli euguaglianza ivalesse uguali e siano=Sosonodi 2kt lft quindi2ktmenoa =rr{ e- f- 2kO + da 0le= con 1na - V7Le trovano circonferenza vertici diradici di isu asi eraggio = occupanouna unf- •poligono angolodi . 5

Teorema fondamentale dell'algebra

Teorema fondamentale dell'algebra Pnl'gradoDato allora 0 hadipolinomio complesso n equazione =un ( )molteplicitàcontateesattamente ¢ loro quantesoluzioni la solvolte èn conin un num"()Pn )(2-0)=0 (PnPn Qfz)sol¢ OdièZoe se Z zo= → z = - .

Teorema per polinomi reali

MPER DIPOLINOMITEOREMA REALI . tutteha)Quando solPn ( COMPLESSEER leallora REALI CONIUGATEao an sonoz -o.. . ..solcioè lo ancheèèZo Zose .1M☐ . proprietasignifica la coniugatoPnczosd ') delallora0zo per=(2-0)--5=0Pn " "" QnAn -20 doZo Z= as t+1+ - . .. (E)""ZJANZI anzi Pn" an ao= =t + +n- . . .( ilconiugato stessodiilan èsono realian realerealeune^- .. ., .Corollario sddisparireali Pncz)coefficientiPn ha almenose allora REALE0 ha MIe unan = .6

Unicità del teorema del limite

UNICITÀTEOREMA LIMITEDELDIse limite finitol limiteha èallora questo±an 00a unico .DIM assurdo✗. ( )li laabbia limitisupponiamo 2 ERche #anlimite arbitrariamentedalla scegliere piccolodidef Eposso > o( )0prendendo a la la es< E < >+4hasi : §Annan ]li =D [J la ltnlaIN {Nn Ean E1 = c- Nn: >+- ,. la lalimon ] tnNEIN [la NzE3- {e2 >an:= +-. , !entrambe vuotadovrebbero l' intersezione 2dei èinsiememavalere lzeiInfatti lei la lila 2E anniEE < <E<+ + - 2

Criterio di non esistenza del limite

Criterio di non esistenza DEL LIMITE esiste ilQuando limitelimitihannoSOHO della successione2 alloradiversisuccessioni non .èQuindi IRREGOLAREan .

Teorema delle successioni convergenti

Successioni convergenti limitataconvergentese VICEVERSAallora èè NOan ..DIM . )le ( def-3km convergenteRipotesi anper di succ= .limitela fissatocolf di NEINper 0,7E > :,Ian Nll ee-tn N On < >EE << E > n^ +- hafinitol' è quindiEN cioècheosservo insieme Maxminandegli con en :2 E MEanpm { } { }↳ (ci l Equindi E.min m M+Max== e-,da che2 segue^ eLa t èC- ( V-n-c.IN ancioè LIMITATAan 2 .ÈIL VICEVERSA FALSO :limite finito quindi> CONVERGENZALIMITATAan =controesempio : 8" (" )convergente Ifilimitata /è )1)C- è Es1ma non =èLIMITATA Mche MONOTONACONVERGENTEmale anse .

Successioni monotone

Successioni monotone EarthanCRESCENTE se andaiDECRESCENTE se +1TEOREMA SUCCESSIONI MONOTONESUL DELLELIMITE limitata convergentemonotona èse èuna allorasuccessione e .{ }limoncrescente neinsupèse• an :=, { }decrescente liman 1nF neinèse an :• =,limiti7 esistonomaratonedelle sempresuccessioni .

limitatacrescenteDIM ✗ con e. )}{ ( limitata limanallora5- 5-Th new xkeSERsup: se :andicolfdalla Sip :INlineSZ On1 . 3- San >NEIN E:2 E > o -. crescente haNèpoiché an sin> q3 ZQNan. def limitelaabbiamounendo di2,31 :, NtnSEEfanCON STE5- E >132 ... )( limonSIIan deh di< tiri SN maEE >>o⇐ -- -

Teorema sull'algebra dei limiti

Algebra dei limiti ( ) )(11mn bn bProdotto = a-an .MDI .dimostro prendere 1Eche <possoo>EhaSi : Ian b)bnJNEIN < EaTESI -: : - -fissato 1 valgono0 E< < : alIanlimon UnEIN3-a E< Nn:Nn >=- -11M Ibnbbn bl tuJNZEIN Ne< E:- >= -as9uugoetdgoabnlan.bn-a.bIEl@en.bnTabnFabnconsidero adesso b) b) /albn bnllan-altlallbn-b.IE=/a)brian/Ea- +- - -(1+161)E 1+161+101taleE c. E C.+ = con = i« 10( tbltlblIbn/ ttlblIbn Etlblbtbl EIbn <<= -- ) b(Inndue bnè che a.an •si =-

Teorema della permanenza del segno

Permanenza del segno DEL ££FORMAIData regolare sian ha :/ alloraa DEFO+000 >an >ao anim = o .11pm• < DEFallora<0 Oan an-00a= o .DIM Oa >✗. kmkm defse dalla OCEdi aa <>=con o conltn0 N3- < < anNEIN aana- O>< E laE: + >,II FORMA limonregolaresia alloraan ae =70Se DEFan a^ 70.DEF EOEO aSe con2 . acabb anfb.inData bbn alloralunbn> DEFae :=con ,DIM oa >×. limiteassurdo abbiaregolare cheantoSe DEF acosuppongo pere^ .avrebbeAssurdo la formaxke anco DEFalloraper I .Uguale2 Def bn bn3 70 hpcn an caneDEF DEF= per- . Asbb- OcioèImplica >limitisull' b- apoichèalgebra lacnzocn DEFdei 7hmteorema a ^Dal =

Teorema dei carabinieri

Teorema dei carabinieri data G bn7 2cuisuccessione anuna :successioniper ,timbrilimon aa -= bn DEFE Ean2 Cn .71inch @allora = .DIM . hpdelleE o :> ltnNien3-limon a- ancaAER E Nn< E+:= >1 . bnlrmbn UnAER Naeem Naa-3- E>2 << Eat:-= >. bnIN tnIN E Nan che3 >} }C- :. Allora }{ bnttn Ea- E<ENoi Enz •ns < anvale> Max : cn +, , I 12lcn al E<-Bacolfquindi dalla di km Iim3- acn -,

Teorema limitata infinitesima

Infinitesima limitata ✗ Canion)tim Obn alloralimon è0è INFINITESIMA LIMITATAse cioèan =e=DIM . /Ibn M7MLIMITATA <> 0: :i.br/=Ianl.lbnIEM-lanlIanOEt +

Proprietà del valore assoluto

PROPRIETA timpanilimanASSOLUTOVALORE' 0== 13)limnlan bn.br/=07hm Ian OHcarabinieri implica che ⇐dei =il teorema -)( È )olbnbn

Definizione asintoticità e piccolo o

Asintoticità DEFINIZIONE PICCOLO0 ' -1-0 anDI piccoloan =DEF oe : →o- ,limon[ bnbn I-n1=00 asintotico' diO SUPERIOREse ORDINE 1saracon 00: :=→ →,limon bnO bn INFERIOREsarà0Se di cioè:con ORDINE→ = 00, trascurabile( ) significabn èan che an= 0È le 0 allora→ stesso ordinebri dellose 15an sonoeanrubn sintetiche