Trasmissione numerica - i segnali aleatori

Introduzione ai segnali aleatori

Ernesto Conte
9 marzo 2007

Indice

• Segnali aleatori
• Segnali aleatori: definizione e classificazione
• Caratterizzazione statistica di segnali aleatori
• Caratterizzazione di ordine i-esimo
• Caratterizzazione sintetica
• Segnali aleatori stazionari
• Caratterizzazione congiunta
• Processi complessi
• Processi gaussiani
• Ergodicità
• Caratterizzazione energetica dei segnali
• Segnali di energia e di potenza
• Densità spettrali di energia e di potenza
• Segnali PAM
• Legami ingresso uscita per sistemi LTI
• Analisi dei sistemi LTI nel dominio del tempo
• Legami ingresso uscita per le PSD
• Esercizi

Capitolo 1

Segnali aleatori

Segnali aleatori: definizione e classificazione

X(t)

Un segnale aleatorio (s.a.) è una famiglia di v.a. {X(t), ∈t T} {Ω, }.PT, E, con insieme di indici tutte definite sullo stesso spazio campione T.

L’insieme degli indici T è usualmente denominato insieme dei tempi, essendo questo il caso più comune; conseguentemente, se T è discreto, tipicamente in tal caso T = N, Z, o il s.a. si dice a tempo discreto; analogamente, si dice a tempo continuo se T è continuo e, in tal caso, di norma, T = R o T = [0, +∞). I segnali a tempo discreto sono pertanto le successioni di v.a. e, nel caso particolare di insieme dei tempi finito, cioè: T = {1, 2, . . . n}, il s.a. si riduce ad un ve.a.. Inoltre, se l’insieme dei tempi è non negativo (N o R+) il segnale è detto monolatero, altrimenti esso è bilatero.

I s.a., oltre che con riferimento all’insieme dei tempi, si classificano anche sulla scorta del tipo di v.a. che lo costituiscono: precisamente si dice ad ampiezza discreta se i suoi campioni sono v.a. discrete, mentre si dice ad ampiezza continua, o analogico, se i suoi campioni sono v.a. continue.

∈ {X(t), ∈ω Ω, t T} Se, fissato ω si considerano tutte le determinazioni delle v.a. x(t): si ha una funzione reale del tempo, diciamola X(t). Tale funzione è denominata realizzazione, o determinazione o funzione membro, del s.a. In altri termini il s.a. può anche essere definito come la corrispondenza T ∈ −→ ∈ X : ω Ω x(t) RT, ove R^T denota l’insieme di tutte le funzioni reali definite in T. Infine, fissato t ∈ T, si ha un numero reale: in altri termini il s.a. è una funzione di due variabili una ω ∈ Ω e l’altra t ∈ T, cioè: ∈ × −→ ∈ X : (ω, t) Ω x(t) T R.

Più in generale, considerati due insiemi A e B con A ⊂ B si denota R^A l’insieme di tutte le funzioni definite in A ed a valori in B.

1 6x(t, ω) t -1 t t2ω 1ω 2 ω

Figura 1.1: Rappresentazione grafica di un segnale aleatorio.

In conclusione un s.a. può essere riguardato come un insieme di funzioni del tempo X(t) o come una famiglia di v.a.; in ogni caso va tenuto presente che la notazione X(t) può avere quattro diversi significati e cioè (fig. 1.1):

• ω Una famiglia di funzioni del tempo ovvero una famiglia di v.a. (t e ω variabili), cioè il segnale aleatorio;
• ω Una singola funzione del tempo (t variabile e ω fissato); cioè una funzione membro del segnale aleatorio;
• ω Una variabile aleatoria (t fissato e ω variabile);
• ω Un semplice numero (t e ω fissati);

L’effettiva interpretazione di X(t) va dedotta di volta in volta dal contesto.

Esempio 1: Generatore di forme d’onda

Si consideri lo spazio campione Ω = {1, 2, . . . n} Nⁿ con la legge di probabilità definita dall’equiprobabilità degli eventi elementari; allora R ∈ −→ ∈ X : k Ω x_k(t) R (1.1), ove x_k(t), k = 1, 2, . . . n, sono funzioni del tempo e X(t) è un segnale aleatorio a tempo continuo, bilatero, ed ad ampiezza discreta.

Esempio 2: Sinusoide a fase uniforme

Sia Ω = [0, 2π) con legge di probabilità uniforme (la probabilità di un sotto-intervallo di [0, 2π) è proporzionale alla lunghezza dell’intervallo); allora R ∈ −→ ∈ X : θ Ω A cos[2πf₀ t + θ] R (1.2). X(t) è un segnale aleatorio tempo continuo, bilatero, ed ad ampiezza continua.

Esempio 3: Cifra frazionaria n-esima della rappresentazione binaria di x ∈ [0, 1)

Sia Ω = [0, 1) con legge di probabilità uniforme (la probabilità di un sotto-intervallo di [0, 1) è proporzionale alla lunghezza dell’intervallo); allora X : (x, n) Ω × N −→ n-sima cifra frazionaria della rappresentazione binaria di x ∈ [0, 1) (1.3) è un segnale aleatorio tempo discreto, monolatero, ed ad ampiezza continua, ovvero è una successione di v.a. binarie.

Caratterizzazione statistica di segnali aleatori

Caratterizzazione di ordine i-esimo

L’interpretazione di un s.a. come famiglia di v.a. è particolarmente utile nel definirne la caratterizzazione probabilistica. Infatti questa consiste nell’assegnare la distribuzione di probabilità (in alternativa CDF, pdf o pmf) di ordine i del ve.a. X(t₁) X(t₂) ··· X(t_i).

 X(t₁) 
 X(t₂) 
≡ X =   (1.4)
  .t_i  
  X(t_i)

ottenuto campionando il s.a. X(t), comunque si scelgano gli istanti di campionamento t₁, t₂, . . . t_i ∈ T (1.5) e per ogni valore di i ∈ N. Si noti che la notazione X_t evidenzia la dipendenza del ve.a. dagli istanti di tempo t_i e da X stesso. Tuttavia, nel seguito, quando non è necessario sottolineare tali dipendenze si utilizzeranno le notazioni semplificate X o X_t. Considerazioni analoghe valgono per t e i.

In altri termini, un s.a. si caratterizza se si assegna la caratterizzazione dei vettori di dimensione finita, ma arbitraria, comunque estratti dal s.a.. Ad esempio, supposto, per fissare le idee, il segnale ad ampiezza continua occorre assegnare la successione di pdf congiunte:

≡ f_{X(t1),X(t2)...X(ti)}(x₁, x₂, . . . , x_i; t₁, t₂, . . . t_i) f_Xⁱ(x; t) (1.6)

ove  x₁ 
 x₂ 
x =   ∈ Rⁱ (1.7)
  .  
  x_i

è il vettore dei valori che il ve.a. dei campioni considerati (1.4) può assumere. Notiamo esplicitamente che la notazione utilizzata evidenzia che la pdf congiunta di ordine i del s.a. X(t) dipende anche dagli istanti di tempo considerati, come del resto è ovvio in quanto al variare di tali istanti si ottiene un diverso ve.a..

Se è assegnato lo spazio di probabilità {Ω, P(·)} ed il s.a. X(t) allora, almeno in linea di principio, si possono calcolare le distribuzioni di probabilità del vettore dei campioni (1.4) comunque lo si scelga.

Esempio 4: Cifra frazionaria n-esima della rappresentazione binaria di x ∈ [0, 1)

Si riprenda in esame il processo dell’esempio 3: iniziamo col determinare la pmf del primo ordine, di X(1) cioè della prima cifra frazionaria. Dalla definizione di tale s.a. segue immediatamente che X(1), e più in generale X(n), è una v.a. bernoulliana; inoltre si ha:

P ({X(1) = j}) = {
1/2 se j = 0 P ({x ∈ [0, 1) : x ∈ [0, 0.5)}) = 1/2
1/2 se j = 1 P ({x ∈ [0, 1) : x ∈ [0.5, 1)}) = 1/2

per cui in definitiva risulta: X(1) ∼ B(1, 1/2).

Analogamente si calcola la distribuzione di X(n); precisamente si ha:

P ({X(n) = j}) = {
1/2 se j = 0 P ({x ∈ [0, 1) : x ∈ A₀}) = 1/2
1/2 se j = 1 P ({x ∈ [0, 1) : x ∈ A₁}) = 1/2

ove:

A₀ = [0, 1/2ⁿ) ∪ [1/2ⁿ, 2/2ⁿ) ∪ [2/2ⁿ, 3/2ⁿ) ∪ · · · ∪ [2^n-1-2/2ⁿ, 2^n-1-1/2ⁿ)

A₁ = [1/2, 1/2ⁿ) ∪ [2^n-1/2ⁿ, 2^n-1+1/2ⁿ) ∪ [2^n-1+2/2ⁿ, 2^n-1+3/2ⁿ) ∪ · · · ∪ [2ⁿ-1/2ⁿ, 1)

In altri termini l’evento {X(n) = j} è la probabilità che X(n) assuma valori nel pluri-intervallo A_j che, indipendentemente da j e da n, ha lunghezza 1/2. Pertanto la pmf del prim’ordine è:

p_X(n)(x) = 1/2, x ∈ {0, 1}

ovvero sinteticamente: X(n) ∼ B(1, 1/2) ∀ n ∈ N.

Si noti che per il s.a. in esame la pmf del 1 ordine non dipende dall’istante di tempo considerato: in altri termini i campioni del segnale sono v.a. identicamente distribuite.

Per la caratterizzazione di ordine superiore occorre valutare probabilità congiunte del tipo: P ({X(n₁) = j₁} ∩ {X(n₂) = j₂} ∩ · · · ∩ {X(n_i) = j_i}).

A tal fine, per fissare le idee, valutiamo la P ({X(1) = 1} ∩ {X(2) = 0} ∩ {X(3) = 1}). Come è immediato verificare risulta:

P ({X(1) = 1} ∩ {X(2) = 0}) = 1/4

P ({X(1) = 1} ∩ {X(2) = 0} ∩ {X(3) = 1}) = 1/8

Poiché inoltre P ({X(1) = 1}) = P ({X(2) = 0}) = P ({X(3) = 1}) = 1/2 gli eventi considerati sono statisticamente indipendenti. Con considerazioni analoghe è possibile dimostrare che comunque si estraggano i v.a. dal processo in esame queste risultano statisticamente indipendenti. Conseguentemente la pmf congiunta di i campioni è data semplicemente dal prodotto delle pmf marginali; in altri termini si ha:

p_{X(n1),X(n2)···X(ni)}(j₁, j₂ · · · j_i; n₁, n₂, n_i) = ∏_k=1ⁱ p_X(nk)(j_k; n_k) (1.8)

Si noti che la pmf congiunta dipende solo dal numero di campioni considerati indipendentemente dagli istanti in cui tali campioni sono presi.

Riguardare un s.a. come una famiglia di segnali deterministici risulta particolarmente utile se è possibile fornire un’espressione analitica del s.a. in termini di una o più v.a.: tale, ad esempio, è il caso della sinusoide a fase aleatoria dell’esempio 2, che può, equivalentemente, essere definita in modo come segue:

X(t) = A cos[2πf₀t + Θ], Θ ∼ U(0, 2π) (1.9)

Più in generale per tale tipo di segnali, detti anche segnali a parametri aleatori, si ha X(t) = g(t; Y), ove Y è un ve.a. di assegnata pdf congiunta. In questo caso la caratterizzazione probabilistica del segnale aleatorio può ottenersi da quella dei parametri con le tecniche di trasformazioni di ve.a.

Non sempre i s.a. sono assegnati a partire dallo spazio di probabilità che sottendono: infatti possono essere assegnati direttamente dando una famiglia di distribuzione di probabilità consistente. Invero sussiste il seguente teorema che ci limitiamo ad enunciare:

Teorema di estensione di Kolmogorov: Assegnata una famiglia consistente di distribuzioni (CDF, pdf o pmf) di ordine i comunque scelto i ∈ N del X(t₁) X(t₂) ··· X(t_i) e comunque scelti gli istanti di tempo t₁, t₂, · · · t_i ∈ T, esiste un processo aleatorio consistente con tale famiglia.

Esempio 5: Processo di Bernoulli

Un processo di Bernoulli è una successione di v.a. binarie iid X(n) ∼ B(1, p), ∀ n ∈ T ed è quindi un s.a. tempo discreto ed ad ampiezza discreta; inoltre X(n) è un processo di Bernoulli monolatero se T = N, mentre è bilatero se T = Z.

Considerati i campioni consecutivi del processo:

 X(k) 
 X(k + 1) 
X =  
  .  
  X(k + i - 1)

posto  x₀ 
 x₁ 
x =   ∈ {0, 1}
  ..  
  x_i-1

la loro pmf congiunta vale:

p_X(x; i) = ∏_j=0^i-1 p^x_j(1 - p)^1-x_j = p^w(x)(1 - p)^i-w(x) (1.10)

ove w(x) = ∑_j=0^i-1 x_j.

Come è immediato verificare, la successione di tali pmf è consistente: pertanto essa, a norma del Teorema di Kolmogorov, definisce un segnale aleatorio.

Si osservi che la pmf congiunta dipende dal numero dei campioni considerati, ma non dall’istante iniziale k. Inoltre, aver considerato i campioni consecutivi non è limitativo perché la pmf congiunta dei campioni, per l’indipendenza è data dal prodotto delle pmf marginali dei singoli campioni; inoltre, essendo le v.a. identicamente distribuite, tale pmf marginale non dipende dagli istanti di tempo in cui i campioni sono presi. In conclusione la pmf congiunta è data in ogni caso dalla (1.10), ove X è il vettore di campioni comunque scelti.

Tipicamente un processo di Bernoulli è associato ad un esperimento aleatorio consistente in una serie infinita di prove relative al verificarsi o meno di un evento nella generica prova; ogni prova può, quindi, avere due esiti, convenzionalmente denominati successo S ed insuccesso I. Le successive prove sono indipendenti e sono effettuate sotto identiche condizioni, la probabilità di successo in una generica prova è p, la probabilità di insuccesso è q = 1 - p. Ad esempio, se l’esperimento è una serie di lanci di una moneta ben bilanciata allora p = q = 0.5; se l’esperimento è l’osservazione del comportamento delle autovetture a un dato bivio assumendo come successo la svolta a destra, e se si osserva che la percentuale di autovetture che svoltano a destra nel lungo termine è 62% allora p = 0.62; se l’esperimento consiste nell’osservare la cifra n-sima frazionaria di un numero reale scelto a caso in x ∈ [0, 1) allora p = q = 0.5.

All’esperimento è associato un segnale X(n) nel seguente modo: se nell’ennesima prova si è avuto un successo, X(n) = 1, altrimenti X(n) = 0, in altri termini X(n) è l’indicatore dell’evento E relativamente alla n-sima prova: il segnale che così si ottiene è un processo di Bernoulli.

Notiamo esplicitamente che il processo di Bernoulli assegnato direttamente descrive svariati esperimenti tutti però riconducibili allo schema precedentemente delineato (processi aleatori equivalenti).

Esempio 6: Successioni di v.a. indipendenti

Si osservi che la proprietà fondamentale del processo di Bernoulli, e cioè la possibilità di caratterizzare il segnale aleatorio a partire dalla caratterizzazione del singolo campione, deriva dall’indipendenza statistica dei suoi campioni e quindi vale, mutatis mutandis, più in generale per le successioni di v.a. indipendenti. Supposto, ad esempio, il segnale ad ampiezza continua la pdf congiunta di ordine i è data da:

f_{X(n1),X(n2)...X(ni)}(x₁, x₂, . . . , x_i; n₁, n₂, . . . n_i) = f_X(n1)(x₁; n₁)f_X(n2)(x₂; n₂) · · · f_X(ni)(x_i; n_i) (1.11)

Notiamo esplicitamente che, come evidenzia la notazione utilizzata, la pdf dipende non solo dalle variabili reali x₁, x₂, . . . x_i, ma anche dagli istanti temporali, congruentemente con quanto visto in generale per un qualunque s.a.

Se le v.a. della successione oltre ad essere indipendenti sono anche identicamente distribuite (successioni di v.a. iid) allora la pdf marginale del singolo campione non dipende dal tempo, dovendo essere sempre la stessa per un qualunque valore dell’indice della successione; conseguentemente anche la pdf congiunta non dipende dagli istanti di tempo considerati.

Caratterizzazione sintetica

Non sempre è disponibile la caratterizzazione completa, o per lo meno quella di ordine i, di un segnale aleatorio; inoltre in diversi problemi la caratterizzazione completa del segnale non è necessaria: in tali situazioni, si può far ricorso ad una caratterizzazione sintetica dello stesso, cioè in termini di alcune funzioni che ne descrivono il comportamento medio.

La prima di tali funzioni è la media statistica del segnale µ_X(·), cioè la funzione:

μ_X(t) = E[X(t)] ∈ R, t ∈ T

in altri termini la media del processo è la media statistica della v.a. X(t) in funzione dell’istante di campionamento t ∈ T.

Analogamente si definiscono il valor quadratico medio (o valore m.s.), il valore efficace (o valore rms) e la varianza di X(·):

rms X p2 2X (t)