Trasformazioni geometriche nel piano

Nazario Magnarelli

Trasformazioni geometriche nel piano con esercizi

1

Prefazione

In questo volumetto sono ripresi sinteticamente alcuni argomenti di Geometria Proiettiva, già trattati per

dall’autore

esteso in altri suoi lavori (Geometria Proiettiva, Voll. 1 e 2). Si passa poi alla definizione di

omologia, alla esposizione delle sue proprietà e alla sua costruzione grafica. Lo studio delle omologie è

approfondito con esercizi svolti di vario genere, che il lettore non può trovare nei testi pubblicati sulla stessa

materia nei decenni passati.

Particolare attenzione si è rivolta alla stimolante soluzione di un problema di contenuto inconsueto che,

una proiettività fra il piano improprio e uno proprio, ci permette di trovare l’equazione di un

partendo da 3

F

luogo geometrico rappresentato da una superficie del terzo ordine (pag. 34).

Altro argomento interessante è la presentazione delle omotetie come caso particolare di omologie aventi il

centro proprio e come asse la retta impropria del piano.

Il lavoro termina con alcuni argomenti sulle Trasformazioni Geometriche nel Piano; esse ci consentono di

vedere il legame fra le varie forme di Geometria e le proprietà che rimangono invarianti rispetto ad un

determinato gruppo di trasformazioni. Si chiarisce così il legame esistente fra Geometria e Teoria dei

gruppi, messo in luce dal matematico F. Klein (1849-1925) nel suo Programma di Erlangen (1872).

Latina, Luglio 2010

Nazario Magnarelli 2

Bibliografia

1) L. Campedelli: Lezioni di Geometria Vol. 1, CEDAM - Padova;

– –

2) L. Campedelli: Esercizi di Geometria Proiettiva CEDAM 1970;

–

3) F. Conforto: Geometria Descrittiva, Edizioni univ. DOCET Roma;

–

4) E. Martinelli: Geometria Vol. 2, 1954; Librerie M. Bozzi Genova;

–

5) F. Enriques: Lezioni di Geometria Proiettiva, ristampa 2000 Zanichelli;

–

6) M. C. Beltrametti: Geometria A. e Proiettiva, 2002, Boringhieri TO;

7) Dispense O.R.U.R.: Esercizi di Geometria Descrittiva; Ed. La Goliardica,

Roma, 1957; –

8) G. Vaccaro: Teoria delle curve e superficie; Ed. Veschi Roma;

9) N. Magnarelli: Geometria Proiettiva; http://digilander.libero.it/santoppe; –

10) G. Montanari: Trasformazioni Geometriche nel Piano; Centro Programmazione Editoriale

Modena. Edizione anno 1997. 3

Indice

Prefazione ......................................................................................................... 2

Geometria proiettiva ................................................................................ 6

–

N. 1 Coordinate proiettive nelle forme di prima specie .................................... 6

–

N. 2 Proiettività tra due forme di prima specie ................................................. 7

–

N. 3 Equazione di una proiettività tra due punteggiate ..................................... 8

–

N. 4 Punti uniti di una proiettività fra punteggiate sovrapposte ....................... 8

–

N. 5 Coordinate proiettive sulla retta ................................................................ 9

– L’ascissa proiettiva di un punto di una retta come birapporto

N. 6 .................. 9

–

N. 7 Valori delle ascisse proiettive dei vertici e del punto unità del riferimento proiettivo 11

–

N. 8 Involuzioni .............................................................................................. 11

–

N. 9 Equazione di una involuzione ................................................................. 13

– L’invariante assoluto di una proiettività

N. 10 ............................................... 14

– Il centro e la potenza dell’involuzione sopra una punteggiata

N. 11 .............. 15

–

N. 12 Problemi di applicazione su proiettività e involuzioni.......................... 16

–

N. 13 Punti limite di due punteggiate proiettive: 1° esempio. ........................ 17

–

N. 14 Punti limite di due punteggiate proiettive: 2° esempio ......................... 19

–

N. 15 Problemi sulle involuzioni .................................................................... 19

–

N. 16 Involuzione ortogonale e involuzione assoluta ..................................... 20

–

N. 17 Formula di Laguerre .............................................................................. 21

–

N. 18 Coordinate proiettive omogenee sul piano............................................ 23

–

N. 19 Valore del birapporto A (A A UM) di un riferimento proiettivo e dei birapporti analoghi 28

3 1 2

–

N. 20 Equazione di una retta in un riferimento proiettivo .............................. 30

–

N. 21 Problema notevole di Geometria Proiettiva ......................................... 31

Omografie ........................................................................................................ 36

–

N. 22 Definizione di omografia tra due piani ................................................. 36

–

N. 23 Equazioni di una omografia tra due piani sovrapposti .......................... 36

–

N. 24 Omologia piana: genesi spaziale ........................................................... 37

–

N. 25 Omologie speciali ................................................................................. 40

Esercizi sulle omologie ........................................................................ 41

–

N. 26 Equazioni di una omologia di elementi assegnati ................................. 41

–

N. 27 Omografie aventi le proprietà di una omologia .................................... 43

–

N. 28 Posizione di una circonferenza rispetto alla 2^ retta limite di una omologia 45

–

N. 29 Applicazioni algebriche delle omologie nelle trasformazioni di una circonferenza. 46

–

N. 30 Omologia di elementi assegnati ............................................................ 48

–

N. 32 Omologia con centro proprio e come asse la retta impropria ............... 52

a

– L’omotetia come caso particolare dell’omologia (

N. 33 versione) ........... 55

1 a

–

N. 34 Le omotetie come caso particolare delle omologie (versione) ....... 56

2

–

N. 35 Esercizio su una omologia speciale ...................................................... 59

–

N. 36 Omologia avente asse, centro e punti corrispondenti assegnati ............ 61

–

N. 37 Omologia di centro e asse dati (Beltrametti; Geometria, pg. 141) ...... 63

–

N. 38 Rette limite di una omologia ................................................................. 65

–

N. 39 Costruzione delle due rette limite di una omologia di asse e centro propri 66

–

N. 40 Omologia con retta limite .................................................................... 67

–

N. 41 Esempio di omologia affine .................................................................. 69

–

N. 42 Le affinità nel piano .............................................................................. 73

–

N. 44 Composizione di affinità ....................................................................... 75

N. 45 - Problema sulle affinità .......................................................................... 78

–

N. 46 Equazione di una affinità con uno degli assi coordinati unito .............. 79

–

N. 48 Similitudini nel piano ............................................................................ 80

–

N. 49 Problema sulle similitudini ................................................................... 83

4

Isometrie

.......................................................................................................... 85

–

N. 50 Equazioni di una isometria .................................................................... 85

–

N. 51 Le geometrie dal punto di vista delle trasformazioni ............................ 85

–

N. 52 Equazioni di una omologia generale .................................................... 86

a

–

N. 53 Omotetie come caso particolare delle omologie (versione) .......... 87

3

–

N. 54 Affinità tra piani (E. Martinelli; Geom. Descrittiva, pag. 150) ........ 88

–

N. 55 Su un problema di Apollonio ........................................................... 90

–

N. 56 Coniche omologiche. ........................................................................... 91

–

N. 57 Teorema di Désargues sui triangoli omologici .................................... 95

5

Geometria proiettiva

1. Coordinate proiettive nelle forme di prima specie

a

1

Consideriamo tre elementi distinti A, B, C di una forma di specie, es. una punteggiata. Comunque si

prenda su di essa un quarto elemento M resta individuato il birapporto

  (ABCM)

(1). Algebrica con l’elemento variabile M, dalla (1) si ha il

Se k è un parametro in corrispondenza biunivoca

birapporto numerico  

(k k )(k k )

   3 1 2

(k k k k)

(2), ossia

 

1 2 3 (k k )(k k )

3 2 1

  

(k k )k (k k )k

 3 1 3 1 2

(3).

  

(k k )k (k k )k

3 2 3 2 1

La (3) è una trasformazione lineare fratta non degenere del parametro k; infatti il suo determinante

     

(k k )(k k )(k k ) 0

è poiché gli elementi A, B, C sono distinti fra loro.

3 1 3 2 2 1

 biunivoca algebrica con l’elemento M variabile

Pertanto, come k, è un parametro in corrispondenza

nella forma considerata.

 si dice coordinata proiettiva dell’elemento M della forma considerata rispetto al

Questo parametro

riferimento proiettivo costituito dagli elementi A, B, C.

k, k, k

k

Se diamo a i valori otteniamo rispettivamente le coordinate proiettive dei punti A, B, C.

1 2 3

Dalla (2) si vede che    

per k k si ha,

1

  

per k k si ha 0,

(4) 2

  

per k k si ha 1.

3

A causa di questi valori, i punti A, B, C si dicono rispettivamente elemento infinito, zero e unità del

riferimento proiettivo. In particolare, i punti A, B si dicono vertici.

Se la forma considerata è una punteggiata e fissiamo su di essa un riferimento cartesiano Ox, k non è altro

che l’ascissa x del punto M della punteggiata e la (3) si può scrivere

 a b

ax b 

 0

(5), con,

 c d

cx d

o in forma più opportuna  a a

a x a

 

11 12

11 12 0

(6), con.

 a a

a x a 21 22

21 22     

x x x

Spesso è opportuno passare a coordinate omogenee ponendo e. La (6) allora

1 2 1 2

diventa  

a x a x



1 11 1 12 2.

 

a x a x

2 21 1 22 2

Si ricava che in forma lineare intera le coordinate proiettive omogenee del punto M sono date dalle due

equazioni:   

 a x a x

1 11 1 12 2



(7)   

 a x a x.

2 21 1 22 2 6 , con l’intesa di alterare eventualmente per un

Possiamo tralasciare il fattore moltiplicativo indeterminato   x, x,

conveniente fattore di proporzionalità le coordinate omogenee o le coordinate. Si ottiene

1 2 1 2

allora   

 a x a x a a 

1 11 1 12 2 11 12

 0

(8) con.

  

 a a

a x a x, 21 22

2 21 1 22 2

E’ ovvio che i coefficienti a, a, a, a della (8) possono essere alterati anche essi per un comune

11 12 21 22

fattore di proporzionalità non nullo. 

,0,1

Quando si fa uso di coordinate omogenee, gli elementi fondamentali del riferimento proiettivo sono

dati dalle coppie di valori (1,0), (0,1), (1,1) o da coppie di numeri ad esse proporzionali.

2. Proiettività tra due forme di prima specie

(F. Conforto; Geom. Descrittiva, pag. 46. Per ulteriori informazioni, vedere il testo Geom. delle Superfici

Rigate, Parte terza, Cap. secondo di N. Magnarelli). Si definisce come proiettività (o trasformazione

proiettiva) tra due forme di prima specie, distinte o coincidenti, ogni corrispondenza tra gli elementi della

prima forma e gli elementi della seconda la quale goda delle due seguenti proprietà:

• Di essere biunivoca;
• Di conservare i birapporti.

La b) vuol dire che il birapporto di quattro elementi qualsiasi della prima forma è uguale al birapporto degli

elementi corrispondenti della seconda forma.

Ogni corrispondenza tra due forme di prima specie generabile mediante proiezioni e sezioni è una

proiettività; infatti, essa è biunivoca per natura e conserva i birapporti; anzi, ogni proiettività tra due forme

a

di specie è generabile mediante proiezioni e sezioni (fig. 1)

1

Inoltre, una proiettività è perfettamente individuata quando di essa sono date tre coppie di elementi

corrispondenti. 7

3. Equazione di una proiettività tra due punteggiate

(F. Conforto; Geom. Descrittiva, pag. 60) Siano r ed r’ due punteggiate distinte e supponiamo che fra di

esse sia definita una proiettività.

Allora, se A, B, C sono tre punti distinti della retta r e A’, B’, C’ i loro corrispon-denti sulla retta r’, la

r il punto P’ della r’ per il quale si ha:

proiettività fa corrispondere ad ogni punto P della



(1).

(ABCP) (A'B'C'P')

Introduciamo un riferimento cartesiano Ox sulla retta r e un riferimento O’x’ sulla retta r’. Se indichiamo

dei punti A, B, C, P della punteggiata r e con a’, b’, c’, x’ le ascisse dei punti

con a, b, c, x le ascisse

A’, B’, C’, P’ dell’altra retta, il birapporto (1) ci fa trovare l’equazione della proiettività:

(a, b, c) (a', b', c')

 



(2),, da cui

(a, b,c, x) (a', b',c', x') (a, b, x) (a', b', x')

  

       

(3) con.

0

xx' x x' 0  

Dalla (3) si ha:   

x

 

       ,, quindi

x'

x' (x) x   

x

 a a

a x a 

 11 12

11 12 0

(4), con.

x'  a a

a x a 21 22

21 22

4. Punti uniti di una proiettività fra punteggiate sovrapposte

sovrapposte r ed r’, possiamo fissare su di esse lo stesso

Se si ha una proiettività fra due punteggiate

riferimento cartesiano Ox e dalle (3), (4) del N. 3 si ricava che l’equazione della proiettività è ancora

  

       

(1) con,

0

xx' x x' 0  

da cui si ricava  a a

a x a 

 11 12

11 12 0

(2), con.

x'  a a

a x a 21 22

21 22

Nel caso di una proiettività fra punteggiate sovrapposte, la condizione necessaria e sufficiente affinché un

punto di ascissa x della r e un punto di ascissa x’ della r’ coincidano evidentemente è:



(2);

x x'

Si dirà allora che il punto di ascissa x è unito per la proiettività. o

 nella (1). Si ottiene allora l’equazione di

I punti uniti della proiettività si trovano ponendo 2

x x'

grado:        

2

(3).

x ( )x 0

Se escludiamo il caso che la (3) sia identicamente soddisfatta, le sue radici possono essere reali e distinte,

reali e coincidenti o complesse coniugate. In corrispondenza la proiettività avrà due, uno o nessun punto

unito ed essa si dirà iperbolica, parabolica o ellittica.

8

5. Coordinate proiettive sulla retta

(F. Conforto; Geom. Descrittiva, pag. 258) Nei paragrafi precedenti abbiamo visto che, fissato un qualsiasi

riferimento cartesiano sopra una punteggiata r, ogni sostituzione lineare fratta non degenere sulla x, cioè

 a a

a x a 

 11 12

11 12 0

(1), con,

x'  a a

a x a 21 22

21 22

rappresenta una proiettività della retta r in sé (o meglio tra la r e una punteggiata r’ sovrapposta alla r);

proiettività, al punto di ascissa x corrisponde il punto di ascissa x’ tratta dalla (1).

in questa

Ma la (1) si può anche interpretare come un cambiamento di coordinata, nel senso che ad ogni punto P di

il punto P’ di ascissa x’ rispetto al riferimento fissato, ma si

ascissa x della punteggiata r non si associa

associa il numero x’ tratto dalla (1). In tal modo, ad ogni punto (proprio o improprio) della r resta

P(x)

associato il numero x’ dato dalla (1).

P è il punto improprio della r, la x’ che ad esso corrisponde è il valore

Se in particolare, che si

a a

11 21

ottiene dividendo numeratore e denominatore della (1) per x e facendo poi tendere x al valore infinito.

un qualsiasi valore per x’ (compreso il valore infinito), risolvendo la (1) rispetto ad

Inversamente, fissato

x si ha 

a x' a

 22 12

(2).

x  

a x' a

21 11

Resta allora univocamente individuato un valore di x e quindi il punto P di ascissa x rispetto al



riferimento dato. Se in particolare x’ è infinito, il punto P è il punto di ascissa, che è il valore

a a

22 21

limite di x quando x’ tende all’infinito.

Nasce in tal modo una corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta proiettiva r e i valori della variabile

x’ (incluso il valore infinito); e questa corrispondenza permette di considerare la x’ associata ad un punto

P della retta come una nuova coordinata. La x’ si dirà ascissa proiettiva della punteggiata r.