Matematica - trasformazioni matematiche

Affinità, isometrie e omotetie

Traslazioni, simmetrie, rotazioni, centrale, assiale, non monometriche.

Relazione del programma di quarta sulle trasformazioni

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Di Stefania Ischia e Francesca Corradi

Schema generale delle trasformazioni affrontate

Introduzione: trasformazioni geometriche del piano

Per trasformazione geometrica piana si intende una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano, ossia una funzione biettiva che associa ad ogni punto P del piano un punto P’ dello stesso piano.

Questo significa che tutti gli elementi dell’insieme A hanno un corrispondente in B e tutti gli elementi dell’insieme B sono immagini di un elemento di A.

Queste trasformazioni sono lineari perché le relazioni che legano le coordinate di un punto e del suo corrispondente sono espresse da polinomi di primo grado.

Le trasformazioni operano sulle figure geometriche e possono cambiare o no le caratteristiche delle figure.

Le trasformazioni vengono classificate secondo le proprietà che non cambiano nella trasformazione, dette proprietà invarianti.

1 1 1⇒P (x,y) P (x ,y ) punto associato

1⇐ {x f (x, y)

1 {y g (x, y)

Le affinità

Si dice affinità o trasformazione lineare una trasformazione che ha la prerogativa geometrica di trasformare rette in rette e che conserva il parallelismo.

Caratteristiche

• Se dei punti sono allineati l’affinità li conserva tali, infatti vengono anche definite collineazioni.
• Un’affinità trasla rette parallele in rette parallele.

Esempio 1

⇒P (1,1) P (-4,2)

Tutte le scritture che hanno queste trasformazioni sono dette affinità e possono dare trasformazioni dilatazioni, scorrimento, traslazioni, contrazioni…

Particolarità: quando un punto si trasforma in se stesso abbiamo una particolare affinità che si chiama identità. In questo caso particolare tutti i punti sono uniti.

Esempio 1

⇒a=1 b=0 c=0 x =x

1 1 1 1⇒a =0 b =1 c =0 y =y

Analogamente ad un punto una curva che rimane se stesse è detta curva unita.

Esempio 1

⇒a=-1 b=0 c=0 x =-x

1 1 1 1⇒a =0 b =1 c =0 y =y

yxo →vf 2

Applicando queste trasformazioni alla parabola y=x e essa rimane unita; ma attenzione i suoi punti non sono uniti tranne il vertice che si trova sull’asse di simmetria.

Trasformazioni isometriche (stessa lunghezza)

Le più semplici trasformazioni geometriche sono le trasformazioni isometriche o isometrie.

L'isometria non è altro che una trasformazione biunivoca del piano che conserva le distanze; cioè, dati due punti qualsiasi del piano, ad esempio A e B, una trasformazione isometrica associa a essi due punti A' e B' tali che AB = A'B'.

Dalla definizione segue che un'isometria trasforma segmenti in segmenti, rette in rette, e così via.

Esempi comuni di isometrie sono le traslazioni, simmetria, le rotazioni.

Le isometrie si distinguono in dirette e inverse a seconda che mantengano o no l’orientamento fra i punti.

Sono isometrie dirette

• Le traslazioni, che sono trasformazioni in cui i segmenti che uniscono ogni punto al proprio corrispondente sono congruenti, paralleli e concordi.
• Le rotazioni di centro O, che sono trasformazioni in cui rimane fisso il punto O, detto centro di rotazione, e ogni punto P del piano ha per corrispondente un punto tale che le distanze e siano uguali e l’angolo sia congruente a un angolo assegnato di ampiezza:

Se l’angolo è un angolo piatto la rotazione corrispondente è detta simmetria centrale, in quanto i punti corrispondenti sono simmetrici rispetto al centro O:

Sono isometrie inverse le

Simmetrie assiali in cui i punti dell’asse r rimangono fissi e sono detti punti uniti della trasformazione. Ogni punto P del piano ha per corrispondente il punto tale che r sia asse del segme