Geometria e algebra lineare, Matrici quadrate: tipi e proprietà

Matrici quadrate

Una matrice quadrata è quadrata se il numero delle righe è uguale al numero di colonne: m = n.

A_(n) = A_{(n ; n)} = ( a₁₁ a₁₂ a₁₃... a_1n ) ( a₂₁ a₂₂ a₂₃... a_2n ) ( ... ... ... ... ) ( a_n1 a_n2 a_n3... a_nm )

Diagonale principale

DIAGONALE PRINCIPALE: a₁₁ a₂₂ a₃₃ a_nn

TRACCIA A: somma degli elementi della diagonale principale.

tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + ... + a_nn

Osservazione: con le matrici quadrate ∀A_(n) ⟹ ^t(A_(n))

Tipi particolari di matrici quadrate

Una matrice A_(n) = a_ij è detta simmetrica se ^tA = A, ovvero a_ij = a_ji ∀i; j.

Sia S_(n): insieme di tutte le matrici simmetriche di ordine (n).

S_(n) sottoinsieme di M_(n)

S_(n) ⊂ M_(n)

Spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine "n".

Esempio

A₍₃₎ =     ^tA₍₃₎ = ( -5   4   6 )    ( -5   4   6 ) ( 4   3   8 )     ( 4   3   8 ) ( 6   8   0 )     ( 6   8   0 )

Coincidono: matrice simmetrica.

Proprietà

∀A, B ∈ S_(n): A + B = A + B ∈ S_(n), vuol dire che S_(n) è un insieme chiuso.

∀A ∈ S_(n) ∀c ∈ R: c · A ∈ S_(n), insieme chiuso anche rispetto alla moltiplicazione con valori scalari.

Le proprietà illustrano che S_(n) è un sottospazio vettoriale dello spazio M_(n).

Matrici quadrate

Una matrice è quadrata se il numero delle righe è uguale al numero di colonne.

m = n

A_(n) = ^tA_(n);

Diagonale principale

DIAGONALE PRINCIPALE: a₁₁ a₂₂ a₃₃ a_nn

TRACCIA A: somma degli elementi della diagonale principale.

tr(A) = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ ... + a_nn

Osservazione: con le matrici quadrate ∀A_(n) t(A_(n))

Tipi particolari di matrici quadrate

Una matrice A_(n) = a_i,j si dice simmetrica se ^tA = A, ovvero a_i,j = a_j,i ∀i,j;

Sia S_(n): insieme di tutte le matrici simmetriche di ordine n.

S_(n) sottoinsieme di M_(n)

S_(n) ⊂ M_(n)

Spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine "n".

Esempio

A₍₃₎ = ( -5      4      6    4      3      8    6      8      0)

^tA₍₃₎ = ( -5      4      6    4      3      8    6      8      0)

Coincidono: matrice simmetrica.

Proprietà

∀A, B ∈ S_(n): A + B = A + B ∈ S_(n), vuol dire che S_(n) è un insieme chiuso.

∀A ∈ S_(n) ∀c ∈ R: c · A ∈ S_(n), insieme chiuso anche rispetto alla moltiplicazione con valore scalare.

Le proprietà illustrano che S_(n) è un sottospazio vettoriale dello spazio M_(n),