Terza parte appunti Analisi 1

Name: Terza parte appunti Analisi 1
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Author: Krishna10

Revisionato il 28/06/2026

di Krishna10

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Appunti completi su tutto il corso di Analisi 1. Suddiviso in 4 parti di 80 pagine c.ca. basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Sforza, …

Esame Analisi 1

Facoltà Ingegneria dell'informazione

Dal corso del Prof. Sforza Daniela

Università Università degli Studi di Roma La Sapienza

A.A. 2021-2022

82 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Simbolo "o piccolo"

Definizione

Siano f, g: X → ℝ con x₀ ∈ ℝ* punto di accumulo per X, e g(x) ≠ 0 definitivamente per x → x₀. Si dice che f(x) = o(g(x)), x → x₀, (f(x) è o piccolo di g(x)) se lim_x→x₀ ^f(x)/_g(x) = 0.

Caso particolare

Se g(x) ≡ 1, allora f(x) = o(1) per x → x₀ ⇔ lim_x→x₀ f(x) = 0.

Esempi

^x³/_x² = o(x²) x → 0
^x/_x² = o(x²) x → ±∞
¹/_x² = o(1) x → ±∞
^x/_e^x = o(e^x) x → ±∞
log₁₀x = o(x^10⁻³) x → ±∞
^log₁₀x/_x^10⁻³ → 0

Scritture di "o" piccolo nei limiti notevoli

sen x = x(1 + o(1)), x → 0
sen x = x + x o(1)

Simbolo "o piccolo" - Caso generale

Definizione

Siano x ∈ ℝ, f, g: X → ℝ con x₀ ∈ ℝ* punto di accumulo per X, e g(x) ≠ 0 definitivamente per x → x₀. Si dice che f(x) = o(g(x)), x → x₀, (f(x) è o piccolo di g(x)) se lim_x→x₀ f(x) / g(x) = 0.

Caso particolare

Se g(x) ≡ 1, allora f(x) = o(1) per x → x₀ ⇔ lim_x→x₀ f(x) = 0.

Esempi 1

x³ = o(x²) x → 0
x³ / x² → 0
x / 2 = o(x²) x → +∞
x / x² = 1 / x → 0
x = o(e^x) x → +∞
log₂x = o(x^{10^-3}) x → +∞
log₂x / x^{10^-3} → 0

Scrittura di "o" piccolo nei limiti notevoli

sen x ~ x (1 + o(1)), x → 0
sen x = x + x o(1)

Altri limiti notevoli

lim log_a(1+x)/x x→0
log(1+x) = x + o(1) x→0
log(1+x)/x = log_e(1+x)^1/x
In conclusione: log_a(1+x) = x log_a e + o(x) x→0
log_a(1+x)/x = log_a e + o(1) x→0
lim e^{(x - 1)} - 1 = 1x → 0
y_x = e^x−1
x²−β₁+1x = log (y_x+1)
e^x−1 = yx²
o(x)x² = 1 + o(1), x > 0 ;
e^x−1 = x + x o(1)
e^x−1 = x + x log(x) x → 0
a^x = 1 + x log(a)+ o(x), x → 0

Esempio

Data la funzione h(x) = 1 − cos(2x) + x²(1 + log (1+ x)), si determini l’ordine di infinitesimo per x → 0.

cos t = 1 − t²/2 + o(t³), t → 0
t = 2x → x → 0
cos(2x) = 1 − 2x²/2 + o(x²) = 1 − 2x²+ o(x²), x → 0
log(1+ x) = x + o(x), x → 0
h(x) = 1 − x²+ 4x³o(x) + x²(1 + x) (x + o(2x))
h(x) = 3x²o(x²) + o(x²)
f(x) = 3x² + o(x²), x → 0

Teorema "ponte"

Siano X ⊆ ℝ, f: X → ℝ, x₀ ∈ ℝ^* tale punto di accumulo, l ∈ ℝ^*. Allora:

lim _{x → x₀} f(x) = l ⇔∀ ∃ a_m ⊂ X, a_m ∈ X \setminus {x₀} x_m → x₀_{m → +∞} f(a_m) → l_{m → +∞}

Osservazione: Il teorema ponte è utile per provare la non esistenza di limiti, in quanto se ∃ a_m, x₀ a_m, b_m ∈ X \setminus {x₀} t.c. f(a_m) → l₁ f(b_m) → l₂_{m → +∞} allora ∄ lim _{x → x₀} f(x).

Esercizi

lim _{x → +∞} sen x
Dim: x_n = nπ ⇒ sen (a_m) - sen ((nπ)) = 0 ∀ n_m → +∞
b_m = π/2 + 2mπ − → ∞ ⇒ sen (b_m) = sen (π/2 + 2mπ) = 1 ∀

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