Appunti terza lezione Analisi 1

Definizione

X insieme tot ordinato, E ∈ X. E è limitato superiormente se E ha un maggiorante. E è limitato inferiormente se E ha un minorante.

Esempio

Es X = ℚ ∈ ∃ ŷ ℚ : x > &fracsp;p;q&frasp; con p ∈ ℤ, q ∈ ℤ, p > 0, q > 0.

E è lim. inferiore? Sì, da zero (m - 0 è un minorante di E.

E è lim. superiore? No. m = &fracsp;a;b&frasp; un magg di E.

1. A e b sono discordi, impossibile, m sarebbe negativo.
2. A e b sono negativi. ⇒ m = − &fracsp;a;b&frasp;, posso supporre m = − &fracsp;a;b&frasp;.

A > 0, B > 0.

Dunque ∀ x ∈ E, x ≤ M, x ≤ m = &fracsp;A;B&frasp;.

Ma &fracsp;x;̀è = &fracsp;a+b;b&frasp; ∈ E. E (A+1, B positivi) &fracsp;a+b;b&frasp; > &fracsp;a;b&frasp; → &fracsp;a;b&frasp; (non può essere un maggiorante).

Es X = ℚ, E = &bigg{;&smash[b]{&fraction&Case{m-1}{m+1};&bigg;}.

E è inferiormente limitato? Sì, -1 è un minorante.

Minorante −1 ≈ &fracsp;M-1;M+1&frasp; M+∼ > 0 &right; moltiplico per M+1. −(1)(M+1) ≤ M-∼- M-1 ≤ M-∼-2 m ≤ 0.

Definizione

X insieme tot ordinato, E ∈ X. E è limitato superiormente se E ha un maggiorante. E è limitato inferiormente se E ha un minorante.

Esempio

Es X = ℚ E = { x ∈ ℚ : x > p/q con p ∈ ℤ, q ∈ ℤ, p > 0, q > 0 }.

E' lim. inferioremente? Sì, da zero (m = 0 è un minorante di E.

E' lim. superiormente? No. M = a/b un magg di E.

1. A e b sono discordi, impossibile, M sarebbe negativo.
2. A e b sono negativi, m = -a/-b, posso supporre m = a/b.

A > 0, B > 0.

Dunque ∀ x ∈ E, x ≤ M, X ≤ M = a/b.

MA X = a/b + ɛ ∈ E (a + 1, b positivi). Può: a/b + ɛ > a/b ⇒ a/b (non può essere un maggiorante).

Es X = ℚ, E = { ^M-1/_M+1 }.

E è inferiormente limitato? Sì, -1 è un minorante.

Minorante -1 M-1/_M+1. M+1 > 0 ⇒ moltiplico per M+1. (-1)(M+1) ≤ M-1.

1. -M -1 ≤ M-1.
2. -2M ≤ 0.

E è super limitato? Sì, 1 è un maggiorante.

^M-1/_M+1 ≤ 1.

E è limitato.

Definizione

Sia X un insieme totalmente ordinato, sia E ⊆ X.

Si ha che ∃x ⊆X è un massimo per E se:

1. x ∈ E.
2. x è un maggiorante di E.

Es. nell’es precedente -1 ∈ E → -1 è un minimo di E. 1 ∉ E → 1 non è un massimo di E.

^M-1/_M+1 = 1; M-1 = M+1; -1 = 1 impossibile.

In realtà si dimostra che questo insieme E non ha un massimo.

Sia ^M-1/_M+1 ∈ E un massimo di E. Faccio vedere che questo x non è un maggiorante di E.

Y = ^{(M₀+1) - 1}/_{(M0+1) + 1} = ^M₀/_{M0 + 2}.

Faccio vedere che x < y.

^M₀-1/_M0+1 < ^M₀/_M0+2 ↔ (M₀ - 1)(M₀ + 2) < M₀(M₀ + 1).

M₀² + M₀ - 2 < M₀² + M₀ -2 < 0 ∀ M₀ ≥ 0.

Quindi x = ^M₀-1/_M0+1 non può essere un maggiorante, quindi E non ha un minimo.

Proposizione

X insieme tot. ordinato, E _X se E ammette massimo (o minimo), supponiamo X₁ < X₂ sono entrambi massimi di E.

Dimostrazione

Per assurdo supponiamo che X₁ < X₂ sono entrambi massimi di E.

X₁ ∈ E, X₁ è magg di E ⇒ X₁ ≤ X₂.

X₂ ∈ E, X₂ è magg di E ⇒ X₂ ≤ X₁.

Segue che X₁ = X₂ (propr. antisimmetrica) della relazione d'ordine.

Definizione

Sia E _X, X ins. tot. ord. Sia E super. limitato, si dice estremo superiore di E, si indica con supE, un minimo λ ∈ X che sia il minimo dei maggioranti di E (se ∃).

Se E non è sup. limitato, allora scriviamo supE = +∞.

Idem per l'estremo inferiore, infE è il max dei minoranti di E, se E è un. inferiormente.

Proposizione

Se ∃, sup E è unico.

Dimostrazione

Segue dall'unicità del minimo di un insieme (in questo caso, dell'insieme dei maggioranti di E).

Dimostrazione

Sia X̄ il massimo di E (la indichiamo con maxE). x è un maggiorante.

Sia y un altro maggiorante di E. Allora x ∈ E ≤ y.

Dunque x è il minimo dei maggioranti ⇒ x = sup E.

Esempio

Es E = {^m-1/_m+1, m ∈ N }.

Dimostriamo che 1 è l'ultimo superiore di E.

1. 1 è un maggiorante: già vista.
2. Se y è un maggiorante ⇒ 1 ≤ y equivalentemente dimostro se y.

Sia dunque y. Devo trovare un m ∈ N tale che y m-1/_m+1 ∈ E.

m+1 > 0 ⇒ y (m-1) 1 + y (1-y > 0) m > ^1+y/_1-y.

Mi basta prendere m un qualunque intero più grande del numero y 1-m/_1+m ⇒ y non è un maggiorante di E.

Esempio notevole

Sia E = { x_i ∈ ℚ | i = 0, 1, 2,... dove x_i e' il piu' grande numero con i cifre decimali dopo la virgola, tale che x_i² ≤ 2 }.

E = { 1, 1,4, 1,41,... }.

Maggioranti di E

2 e' un maggiorante di E (cioe' x_λ ≤ 2 ∀λ = 0, 1,...).

Infatti x_λ² ≤ 2 ∀λ per definizione di E e quindi non puo' essere x_λ > 2 purche' x_λ² > 4.

Idem per 1,5 per ∀λ = 0, 1, 2,... x_λ ≤ 1,5 se fosse x_λ > 1,5 sarebbe x_λ² > 1,5² = 2,25.

M = { 2, 1,5, 1,42,... }   e' un insieme di maggioranti di E.

Supponiamo che E ammetta l'estremo superiore in ℝ (∅ ⊂ ℝ) chiamiamolo α = &supE; allora:

• E ∃ 1 ≤ α ≤ 2 ∈ M.
• E ∃ 1,4 ≤ α ≤ 1,5 ∈ M.
• E ∃ 1,41 ≤ α ≤ 1,42 ∈ M.
• ... E ∃ 1,4142135 ≤ α ≤ 1,4142136 ∈ M.

Facciamo quadrati: 1,99... ≤ α² ≤ 2,00....

Si può dimostrare che:

1. Se E ammette sup, α = sup E, allora α² = 2.

Segue che:

2. α ∉ ℚ.

Dunque E ⊆ ℚ, ma sup E (se è) non sta.

Teorema

Ogni insieme E ⊆ ℝ, E ≠ ∅ e sup. limitato, ammette estremo superiore in ℝ.

Es nell'es precedente E = { x_i ∈ ℚ tale che ... x_i² ≤ 2 } ammette estremo superiore, α = sup E, e per il punto 1) precedenti, α² = 2.

Dunque possiamo scrivere α = √2.

Si può anche scrivere l'allineamento decimale di α = √2.

α = 1,412...

Dove le cifre dopo la virgola sono tali che se cancello tutto quello che compare dopo la i-esima cifra, resta esattamente x_i.

Teorema

Generalizzando la discussione precedente, sia y > 0, y ∈ ℝ, sia m un intero positivo, allora ∃ ed è unico il numero x ∈ ℝ, x > 0, tale che x^m = y.

Si dice che x è la radice ennesima di y, e si scrive x = √^my = y^1/m.

Dimostrazione

E = { x_i ∈ ℚ: x_i è il più grande numero razionale, con i cifra decim. Tale che x_i^m ≤ y }.

Si dimostra che E' E' superiormente limitato, e che il supE e' il numero cercato █.

Osservazione

Nella dim. precedente, al posto di E posso prendere ̃ ={∈ℚ, >0 tale che ᵐ≤} ̅={∈ℝ, >0 tale che ᵐ≤}.

Definizione

Sia = /, con , ∈ ℕ, ≠0 primi tra loro. Sia ∈ℝ, >0.

Si definisce ᶜ= / : = (¹/) = ()¹/.

Analogamente, se = / ≠0, ∈ℤ (anche negatini) (primi tra loro).

Y ̅ᶜ = / = (¹/) = ()¹/.

Ricordo che ᵐ se 0) e' ᵐ = ¹/⁻.

Es ⁻⁷ = ¹/_{⁻⁽⁻⁷⁾} = ¹/_⁷.

Esempio

Es 2^√2 = ?

√2 ∈ℝ, √2 ∉ℚ.

Si ragiona "per approssimazioni successive".

√2 ≃1,4142...

₀ =1,4; ₁ =1,4; ₂ =1,41; ₃ =1,414...

2² =4.

2^1,4 =2^14/₁₀ =2^7/₅=2=(2^7/₅)².

2^1,41 =

PoiChe' 2>1 al crescere degli esponenti ₀ ≤ ₁ ≤ ₂ cresce anche 2^₀ ≤ 2^₁ ≤ 2^₂...

E = { 2^x₀, 2^x₁, 2^x₂ }.

2^√2 := sup E.

In generale

Volendo definire y^κ con y > 1 (idem per 0 < y < 1) scrivo (κ ≥ 0).

c = a₀.a₁.a₂... a₀ ∈ N. a₁, a₂, a₃ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

E = { y^a₀, y^a₀a₁, y^a₀a₁a₂, ... }.

Poniamo y^κ := sup E.

Osserviamo se c ∈ Q.

Es E = { y³, y^3.3, y^3.6; ... }.

sup E = y^3.76....

Osservazione: valgono le solite regole dell'elevamento a potenza.

Osservazione. N.B. se y > 0 yⁿ e' positivo.

Cioè √4 = 2. x² = 4, x = ±2.

Proposizione

Sia a > 0, a ≠ 1 (a ∈ R) e sia y ∈ R, y > 0.

∃ ed è unico il numero x ∈ R tale che a^x = y.

Si dice che x e' il logaritmo in base a di y, x = _alog(y).

Dimostraz. Valgono le proprieta' dei logaritmi.

Valore assoluto

Definizione

Sia x ∈ ℝ, si dice valore assoluto di x il numero reale |x| definita da:

|x| = { x se x ≥ 0 -x se x < 0.

Proposizione

∀x ∈ ℝ e ∀a ∈ ℝ, a ≥ 0    si ha |x| ≤ a ⟷ -a ≤ x ≤ a.

Dimostrazione

⇒ x ≥ 0 allora |x| ≤ a diventa x ≤ a dunque 0 ≤ x ≤ a ⇒ -a ≤ x ≤ a.

• x < 0 allora |x| ≤ a diventa -x ≤ a ⟹ -a ≤ x dunque -a ≤ x < 0 ⟹ -a ≤ x ≤ a.

⇐ • x ≥ 0 allora |x| = x dunque |x| ≤ a diventa x ≤ a _{vero per ipotesi}.

• x < 0 allora |x| = -x dunque    |x| ≤ a diventa -x ≤ a cioè -a ≤ x _{vero per ipot.}.

Teorema (Disug. triangolare)

∀x, y ∈ ℝ si ha |x + y| ≤ |x| + |y|.

Dimostrazione

Supponiamo che -|x| ≤ x ≤ |x| (⟷ |x| ≤ |x|)     -|y| ≤ y ≤ |y|.

Sostituendo -|x| - |y| ≤ x + y ≤ |x| + |y| - _a(|x|+|y|) ≤ x+y ≤ _a(|x|+|y|) (per la propos. preced) |x+y| ≤ |x|+|y|.

Definizione

Siano a, b ∈ R, a < b si dice intervallo limitato di R un sottoinsieme di R del tipo seguente:

• [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b} Intervallo chiuso.
• (a, b) = {x ∈ R: a < x < b} " aperto.
• [a, b) = {x ∈ R: a ≤ x < b} " semiaperto a dx.
• (a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b} " a sx.

Limitati nel senso delle def. viste prima. a è un minorante, b è un maggiorante.

Si dicono int. illimitati i seguenti sottoinsiemi di R sia a ∈ R:

• (a, +∞) = {x ∈ R: a < x} Aperto.
• [a, +∞) = {x ∈ R: a ≤ x} Chiuso.
• (-∞, +∞) = R.