Teoria Meccanica Razionale

Spazi vettoriali, spazio e tempo (Cap. 2)

Vettore = è un elemento di uno spazio vettoriale.

Spazio vettoriale = un insieme in cui agiscono operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare.

2 vettori si dicono linearmente indipendenti se l'eq. c₁V₁ + c_nV_n = 0 ha come unica soluzione a_i = 0, a_n = 0.

Prodotto scalare µ ∙ V - λ ∙ V₀

Spazio affine = è uno spazio vettoriale a cui manca l'origine.

Spazio = è uno spazio affine nodulato su uno spazio vettoriale orientato di dimensione n_e in cui è definito un prodotto scalare.

Tempo = è uno spazio affine nodulato su uno spazio vettoriale orientato di dimensione 1_e in cui è definito un prodotto scalare.

Prodotto vettoriale V ∧ W = ∣V∣∣W∣sinθ

Vettore velocità = è costituito il rapporto incrementale dato il vettore P(t+∆t)_n è la derivata di P rispetto al parametro t, il limite t→0 del rapporto incrementale, quando esiste e si scrive lim dP(t) i t→0 _nh P(t+∆t)-P(t)h_{n n}d_n.

Teoria dei momenti (Cap. 3)

Momento del vettore applicato = Sia O un punto dello spazio e sia (P, v) un vettore applicato, si dice momento del vettore applicato (P, v) rispetto al punto O il vettore libero M(O) = (P-O) ∧ v→.

Il momento non varia se si sposta lungo la propria retta d'azione o se una retta parallela a v.

Momento risultante = è detto momento risultante di sistema di vettori applicati S' il vettore somma M(o) = ∑_i=1ⁿ (P_i - o) ∧ v_i.

Formula di trasposizione dei momenti = ∑¹ (P_l-0) ∧ v_i + (o' - o) ∧ R.

Asse centrale M(o') = Mp+M(o) + (o' - 0)¹ ARei la retta passante per A parallela ad R la cui equazione ha le seguenti forma vettoriale (P-A) = λRe i luogo dei punti dello spazio rispetto ai quali il nuovo risultante è parallelo al vettore risultante R questo si riduce alla sola parte parallela e di quindi ha il modulo minimo.

Sistemi equivalenti = Dati due sistemi di vettori applicati S = ∑ (P_s',vs'), s - 1, 2..., mm' indicando con R, M(O) = R', H' risultante e momento risultante. Si dice che sono equivalenti se R = R'. M(O) = H'(O).

Spazi vettoriali, spazio e tempo (Cap. 2)

Vettore = è un elemento di uno spazio vettoriale.

Spazio vettoriale = un insieme in cui agiscono operazioni di somma e moltiplicazione per uno scalare.

2 vettori si dicono linearmente indipendenti se l'eq. _AV₁+_AnV_n=0 ha come unica soluzione _Ai=0, _An=0.

Prodotto scalare: \( u \cdot v = |u||v|\cos(\theta) \).

Spazio affine: è uno spazio vettoriale a cui manca l’origine.

Spazio = è uno spazio affine modellato su uno spazio vettoriale orient. di dimensione ⁿ su cui è definito un prodotto scalare.

Tempo = è uno spazio affine modellato su uno spazio vettoriale orientato di dimensione 1 su cui è definito un prodotto scalare.

Prodotto vettoriale: V∧W=VWs_inθ

Vettore velocità = è costituito dal rapporto incrementale dato il vettore \(\frac{p(t+Δt)-p(t)}{Δt}\) è il limite derivato di P rispetto al parametro t, è il limite per Δt–>0 del rapporto incrementale, quando esiste e si scrive \(\frac{dp(t)}{dt} = \lim_{Δt \to 0} \frac{p(t+Δt)-p(t)}{Δt} \).

Teoria dei momenti (Cap. 3)

Momento del vettore applicato = sia O un punto dello spazio e sia (P, v) un vettore applicato, si dice momento del vettore applicato (P, v) rispetto al punto O il vettore (libero) M(O) = (P-O) ∧ v.

Il momento non varia se si sposta lungo la propria retta d’azione o su una retta parallela a V.

Momento risultante = è detto momento risultante del sistema di vettori applicati, se il vettore sommatoria H(O) = \(\sum_{i=1}^{n} (P_{i}-O) \wedge v_{i}\).

Formula di trasporto dei momenti = \(\sum_{i=1}^{m} (R_{i}-O) \wedge v_{i} + (O-O') \wedge R\).

Asse centrale M(O′) = H^p+H⁰(P-A) + (O′-O') ∧ R è la retta passante per A parallela ad R, la cui equazione ha la seguente forma vettoriale (P-A)∧R è il luogo dei punti dello spazio rispetto ai quali il momento risultante è parallelo al vettore risultante R, questo si riduce alla sola parte parallela e che quindi ha il modulo minimo.

Sistemi equivalenti = Dati due sistemi di vettori applicati S = \{ (P_i, v_i) \}, i=1, 2,... ed S' = \{ (P'_j, v'_j) \}, j=1, 2,..., m indicando con R, H il risultato e momento risultante. Si dice che sono equivalenti se R=R', M(O)=H'(O').

Operazioni elementari che non variano il risultante

• Aggiunta e soppressione di una coppia di bracci nulli
• Sostituire di vettori concorrenti con il risultante applicato nel punto di concorrenza

Sistema equilibrato: Un sistema di vettori applicati si dice equilibrato se R=0 M(O)=0.

Condizione necessaria e sufficiente perché un sistema sia equilibrato è che esso sia equivalente al solo vettore nullo.

Vettori concorrenti: i vettori hanno la loro retta d'azione concorre.