Schemi Analisi II (tutto il programma)

Name: Schemi Analisi II (tutto il programma)
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Author: NoraF01

Revisionato il 23/07/2026

di NoraF01

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Schemi ordinati, completi ed esemplificati su tutto il programma di Analisi matematica II:-Algebra lineare: spazi e sottospazi vettoriali, matrici e determinanti, applicazioni lineari, …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria dei sistemi

Dal corso del Prof. Sianesi Francesca

Università Politecnico di Milano

A.A. 2021-2022

62 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Lo spazio vettoriale

(Definita un'unità di misura) due segmenti orientati sono equivalenti se hanno lo stesso modulo, direzione e verso.

Vettore = famiglia di tutti i segmenti orientati equivalenti tra loro

V = ^AB

|V| = |^AB|

Vettore nullo

|V| = 0

O = ^AA

Chiamiamo E l'insieme dei vettori geometrici nel piano e nello spazio.

Introduco alcune operazioni tra vettori geometrici

1) Somma
2) Prodotto di un vettore con uno scalare

Dato t ∈ R, tυ è quel vettore che:

Ha modulo pari a t|υ|
Ha direzione di υ
Ha verso di υ se t > 0, e opposto a υ se t (se t = 0 tυ = O)

E è uno spazio vettoriale

Definizione

Sia V un insieme in cui sono definite due operazioni:

1) Somma ➔ υ, w ∈ V ➔ υ + w ∈ V
2) Prodotto per uno scalare ➔ t ∈ R, υ ∈ V ➔ tυ ∈ V

Si dice che V è uno spazio vettoriale se sono valide le seguenti proprietà:

Commutativa ➔ υ, w ∈ V ➔ υ + w = w + υ
Associativa ➔ υ, w, z ∈ V ➔ (υ + w) + z = υ + (w + z)
∃ El. neutro ➔ ∃ 0 ∈ V ➔ υ + 0 = υ
∃ El. inverso ➔ ∀ υ ∈ V ➔ ∃ -υ ∈ V ➔ υ + (-υ) = 0

Somma

Distributiva ➔ ∀ t ∈ R, υ, w ∈ V ➔ t(υ + w) = tυ + tw
Distributiva ➔ ∀ s, t ∈ R, υ ∈ V ➔ (t + s)υ = tυ + sυ
Distributiva ➔ ∀ s, t ∈ R, υ ∈ V ➔ (ts)υ = t(sυ)
∃ El. neutro ➔ ∀ υ ∈ V ➔ 1υ = υ

Lo spazio vettoriale

(Definita un’unità di misura) due segmenti orientati sono equivalenti se hanno lo stesso modulo, direzione e verso.

Vettore = famiglia di tutti i segmenti orientati equivalenti tra loro.

Vettore nullo = |V| = 0

Chiamiamo E l’insieme dei vettori geometrici nel piano e nello spazio.

Introduco alcune operazioni tra vettori geometrici:

Somma
Prodotto di un vettore con uno scalare. Dato t ∈ R, tU è quel vettore che: ha modulo pari a |t| |U|, ha direzione di U, ha verso di U se t > 0, è opposto a U se t < 0 (se t = 0)

E è uno spazio vettoriale

Definizione

Sia V un insieme in cui sono definite due operazioni:

Somma ∀ U, V ∈ V → U + V ∈ V
Prodotto per uno scalare t ∈ R, U ∈ V → t ⋅ U ∈ V

Si dice che V è uno spazio vettoriale se sono valide le seguenti proprietà:

Commutativa ∀ U, V ∈ V → U + V = V + U
Associativa ∀ U, V, W ∈ V → (U + V) + W = U + (V + W)
∃ El. neutro ∈ V ∀ U ∈ V → U + 0 = U
∃ El. inverso ∈ V, ∀ U ∈ V → U + (−U) = 0
Distributiva ∀ t ∈ R, ∀ U, V ∈ V → t(U + V) = tU + tV
Distributiva ∀ t, s ∈ R, ∀ U ∈ V → (t + s)U = tU + sU
Distributiva ∀ t, s ∈ R, ∀ U ∈ V → (ts)U = t(sU)
∃ El. neutro ∀ U ∈ V → 1 ⋅ U = U

Osservazione ➔ Da queste proprietà ne discendono altre:

Ex. ➔ t = 0 se e solo se t ≠ 0 v =0

Altri esempi di spazi vettoriali

1) R^h ➔ insieme delle n-uple ordinate di numeri reali.

X = (x₁, x₂, …, x_n) h componenti

Le due operazioni definite sono

Somma ➔ X = (x₁, x₂, …, x_n) Y = (y₁, y₂, …, y_n)

X + Y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, …, x_n + y_n)

2) Prodotto per uno scalare ➔ t ∈ ℝ ; X = (x₁, x₂, …, x_n)

tX = (t x₁, t x₂, …, t x_n)

Per verificare che R^h sia effettivamente uno spazio vettoriale, devo verificare che siano soddisfatte tutte le proprietà precedentemente elencate:

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