Algebra lineare (no geometria)

Spazi vettoriali

I punti dello spazio possono essere rappresentati come coppie o terne di punti in base al sistema di riferimento scelto. Da qui nasce l'idea di considerare un insieme Rⁿ dove sono accumulati i vettori indicati come vettor riga o vettori colonna. Tale insieme viene definito spazio vettoriale.

In Rⁿ vengono considerate solo 2 operazioni:

Addizione

(a₁,a₂,...,a_n)+(b₁,b₂,...,b_n) = (a₁+b₁,a₂+b₂,...,a_n+b_n)

Prodotto

k(a₁,a₂,...,a_n)=(ka₁,ka₂,...,ka_n)

Tali operazioni devono seguire i seguenti assiomi:

• Somma è associativa: ∀u,v,w∈V ⇒ (u+v)+w = u+(v+w)
• Somma è commutativa: ∀u,v∈V ⇒ (u+v) = (v+u)
• ∃ ∈ V: v+ = v (vettore nullo) è elemento neutro rispetto alla somma
• ∀v∈V ∃(−v) : v+(−v) = 0
• ∀v,w∈V ∀h,k∈R ⇒ 1) h(kv) = (kh)v 2) (h+k)v = hv+kv

Scalare

• 3) h(v+w) = hv+hw
• 4) 1v = v

V×V→V

Somma vettori

R×V→V

Prodotto scalare vettore

Sottospazi vettoriale

Sia S⊆V. S è sottospazio vettoriale di V se soddisfa la condizione di essere spazio vettoriale rispetto alla somma e al prodotto.

Condizione N. es. affinché un sottoinsieme non vuoto S di uno spazio vettoriale V sia un sottospazio vettoriale di V e che risulti

• v+u∈S
• λv∈S ∀v,u∈S ∀λ∈R

Spazi vettoriali

I punti dello spazio possono essere rappresentati come coppie o terne di punti in base al sistema di riferimento scelto. Da qui nasce l’idea di considerare un insieme ⁿ dove sono accumulati vettori indicati come vettor riga e vettor colonna. Tale insieme viene definito spazio vettoriale.

In ⁿ vengono considerate solo 2 operazioni: addizione (a₁, a₂, ..., a_n)+(b₁,b₂,...,b_n)=(a₁+b₁,a₂+b₂,...,a_n+b_n)

Prodotto (a₁, a₂, ..., a_n)= ₁ (a₁, a₂, .., a_n)

Tali operazioni devono seguire i seguenti assiomi:

• Somma è associativa: ∀u,v,w∈V =(u+v) +w = u+(v+w)
• Somma è commutativa: ∀u,v∈V = (u+v) = (v+u)
• ∃∈V : ∀v∈V = v (vettore nullo) è elemento neutro rispetto alla somma
• ∀v∈V: - (v) = v+(−v) = 0
• ∀v,w∈V ∀h,k∈_R =

• 1) h(kv) = (hk)v = (kh)v
• 2) (h + k) = hv+ kv
• 3) h(v+w) = hv+hw
• 4) 1v = v

V × V → V

Somma vettori

R × V → V

Prodotto scalare: vettore

Sottospazi vettoriale

Sia ⊆V il sé sottospazio vettoriale di V se soddisfa la condizione di essere spazio vettoriale rispetto alla somma e al prodotto.

Teorema sui sottospazi:

Condizione N.e.s. affinché un sottoinsieme non vuoto S di uno spazio vettoriale V sia un sottospazio vettoriale di V è che risulti

• ∀u,v∈S
• ∀λ∈_S ∀u,v∈S ∀λ,μ∈S ∀λ∈_IR

Vettori linearmente indipendenti e dipendenti

Sia V k-spazio vettoriale e consideriamo n vettori ∈ V (v₁, v₂ ... v_n).

Consideriamo n scalari λ_n ∈ ℝ : λ₁ v₁ + λ₂ v₂ + λ₃ v₃ ... λ_n v= 0⇒ v& = λ₁ v₁ + λ₂ v₂ + ... + λ_m v

Combinazione lineari di n vettori rispetto a n scalari

n vettori si dicono l.i. se λ₁ = λ₂ = λ₃ = ... = λ_n = 0

l.i. // l.d. ⇒ non tutti gli scalari sono nulli e la combinazione lineare risulta soddisfatta

Insieme di generatori

Riprendiamo v& = λ₁ v₁ + λ₂ v₂ t... + λ_n v_n nello spazio vettoriale V e consideriamo {v₁ , v₂ ... v_n} insieme delle combinazione lineari dei vettori dello s.v.

Se {v₁, v₂, ... v_n} = V ⇒ n vettori generano V insieme di generatori ⇒ {v₁, v₂, ... v_n} sistema finito di generatori

Basi

B = {v₁, v₂, ... v_n} ∈ V V spazio finitamente generato

Base è un sistema finito di generatori con n vettori l.i.

Sottoinsieme di vettori l.i. che genera V = ?

• 1) Vettori l.i.
• 2) Tali vettori generano V

Verificare che n vettori costituiscono una base

Esempi

V = ℝ² v₁=(1;0) , v₂=(0,1)

Insieme finito