Teoria e esercizi di Algebra e Geometria

Teoria di geometria e algebra

Capitolo 1

Insiemi

Insieme vuoto: non contiene nessun elemento ϕ = { }

A⊂B A è un sottoinsieme di B -> tutti gli elementi di A sono in B

Ogni insieme è sottoinsieme di sé stesso.

L’insieme vuoto è sottoinsieme di tutti gli insiemi.

Operazioni tra insiemi

• A∩B={ x| x∈A e x∈B }
• A∪B={ x| x∈A oppure x∈B }
• A-B={ x| x∈A e x∉B }
• A×B={(a,b)| a∈A, b∈B }

Prodotto cartesiano (0, b) coppie ordinate ≠ (b, 0)

Funzioni

f: A -> B funzione da A a B: regola che associa a ogni elemento dell’insieme A uno e uno solo elemento dell’insieme B.

f: A->B g: B->C composizione di g e f: g◦f: A->C (g◦f)(x) = g(f(x))

t è suriettiva ∀x ∈ b ∈ B, Ǝa ∈ A | f(a)=b

Ogni elemento di B proviene da A.

f è iniettiva se ∀a₁, a₂ ∈ A, a₁ ≠ a₂ -> f(a₁) ≠ f(a₂)

f è biunivoca se è iniettiva e suriettiva (accoppiamento perfetto tra A e B)

f(A) = B -immagine

Strutture algebriche

Portano a definire:

• Operazioni definite in un insieme

Si diano operazioni su di un insieme A una qualsiasi funzione “*” definita A×A -> A, e la coppia 〈A, * 〉 si chiama struttura algebrica -> tutti gli insiemi dotati di operazioni.

Esempi: (N, +) (Z, +) (Q, +) (R, +) (Z, -) (N, ×) (Q, ×) (R, ×)

No struttura: (N, -) (Z, ÷) (Q, ÷)

Teoria di geometria e algebra

Capitolo 1

Insiemi

Insieme vuoto = non contiene nessun elemento Ø = {}

A⊆B A è un sottoinsieme di B - tutti gli elementi di A sono in B

Ogni insieme è sottoinsieme di sé stesso.

L'insieme vuoto è sottoinsieme di tutti gli insiemi.

Operazioni tra insiemi

• A∩B={x|x∈A e x∈B}
• A∪B={x|x∈A oppure x∈B}
• A−B={x|x∈A e x∉B}
• A×B={(a,b)|a∈A, b∈B}

Prodotto cartesiano (a,b) coppie ordinate ≠ (b,a)

Funzioni

f: A→B

Funzione da A a B: regola che associa a ogni elemento dell'insieme A uno e uno solo elemento dell'insieme B.

f: A→B g: B→C

Composizione di g e f: g◦f: A→C

(g◦f)(x)=g(f(x))

Esempio: f(x)=x³ g(x)=2x+1 (g◦f)(x)=2x³+1

f è suriettiva se ∀ x ∈ B, ∃ a ∈ A | f(a)=b

Immagine

f è iniettiva se ∀a₁, a₂∈A, a₁≠a₂ ⇒ f(a₁) ≠ f(a₂)

f è biunivoca se è iniettiva e suriettiva (accoppiamento perfetto tra A e B)

Strutture algebriche

Port. le funzioni; → ∃ operazioni definite in un insieme

Si dice operazione su di un insieme A una qualsiasi funzione * definita A×A→A, e la coppia (A,*) si chiama struttura algebrica → tutti gli insiemi dotati di operazioni.

Esempi: (ℕ, +) (ℤ, +) (ℚ, +) (ℝ, +) (ℤ, −) (ℕ, ×) (ℚ, ×) (ℝ, ×)

No struttura: (ℕ, −) (ℤ, ÷) (ℚ, ÷)

Una struttura algebrica (A, *) si dice Gruppo commutativo se verifica le seguenti proprietà:

• Proprietà associativa ∀a, b, c ∈ A (a * b) * c = a * (b * c)
• Esiste l'elemento neutro ∃e ∈ A/∀a ∈ A a * e = e * a = a
• Esiste l'inverso ∃a' ∈ A/∀a ∈ A a' * a = a * a' = e
• Proprietà commutativa ∀a, b ∈ A a * b = b * a

Esempi di gruppi: (ℤ, +) (ℚ, +) (ℝ, +) ℤ⁺ (ℕ, +) perché non c'è l'inverso

(ℝ, x) → ℝ⁺ → ℝ⁺→ x² → ha l'inverso → (ℝ, x) è un gruppo

Una struttura (A, ⊕, ⊗) si dice Anello se:

• (A, ⊕) è un gruppo commutativo
• In A esiste un elemento neutro rispetto a ⊗
• L'operazione ⊗ è associativa ∀a, b, c ∈ A (a ⊗ b) ⊗ c = (a ⊗ b) ⊗ c
• L'operazione ⊗ è distributiva rispetto a ⊕

Se valgono anche

• ⊗ è commutativa ∀a, b ∈ A a ⊗ b = b ⊗ a

{(A, ⊕, ⊗) si dice Anello Commutativo se vale anche:

• Esiste l'inverso rispetto a ⊗ allora (A ⊕, ⊗) è un Campo

Esempi: (ℤ, +, x) è un anello commutativo, no campo

(ℚ, +, x) (ℝ, +, x) anelli commutativi e campi

R[x] = polinomio con la variabile x e con coefficienti reali

Capitolo 2

Spazi vettoriali - tipo di struttura algebrica

Vettore: segmento orientato

V₀ - insieme dei vettori presi su una retta

V₁ - insieme dei vettori presi su un piano

V₂ - insieme dei vettori presi su uno spazio

Ognuno degli insiemi V_i, i=1,2,3 possiamo ottenere un'operazione di somma tra vettori.

Si osserva che (V₀,+) risulta un gruppo commutativo.

Operazioni esterne tra i vettori: moltiplicazione per gli scalari

Struttura algebrica che ha proprietà simili a quelle viste per il V₀

Consideriamo gli insiemi del tipo:

R^m =