Teoria di Ottica

Equazioni di Maxwell

\[ \nabla \cdot \vec{E} = \rho \] \[ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \] \[ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \] oppure \[ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \]

Equazione delle onde

\[ \nabla^2 \vec{E} - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0 \] \[ \nabla^2 \vec{B} - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0 \]

Soluzione più generale

\[ f(x,t) = f(x-vt) \] a) \( x = vt \) onda progressiva b) \( x = -vt \) onda regressiva

Fronte di onda: \( x \) è luogo dei punti in cui è assunta lo stesso valore Onda periodica: \[ f(\xi) = A\sin\left(\frac{2\pi}{\lambda}(x-vt)+\varphi\right) = A\sin\left(\frac{2\pi}{T}(x/v - t) + \varphi\right) = A\sin(kx-\omega t + \varphi) \] Con: \( T \) = periodo \( \lambda \) = lunghezza d'onda \( \nu = 1/T \) = frequenza \( \omega = 2\pi/T \) = pulsazione \( k = 2\pi/\lambda \) = numero d'onda Velocità di fase: è la velocità con la quale si propaga il fronte d'onda

Onde piane

Equazione: \[ \frac{\partial^2 \xi}{\partial x^2} - \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \xi}{\partial t^2} = 0 \] La soluzione più generale è \[ f(x,t) = f_1(x-vt) + f_2(x+vt) \] Prendiamo ad esempio \[ f(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \varphi) \]

Ora ricaviamo alcune relazioni dalle equazioni di Maxwell:

1. \( \nabla \cdot \vec{E} = 0 \)
   • \( \frac{\partial E_x}{\partial x} = 0 \)
2. \( \nabla \cdot \vec{B} = 0 \)
   • \( \frac{\partial B_x}{\partial x} = 0 \)
3. \( \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \)
4. \( \frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{\partial B_y}{\partial t} \)
5. \( \frac{\partial E_x}{\partial x} = \frac{\partial B_z}{\partial t} \)

Equazioni di Maxwell: \(\nabla \cdot \vec{E} = 0\), \(\nabla \times \vec{B} = 0\), \(\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\), \(\nabla \cdot \vec{B} = 0\), \(\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\), \(\nabla \times \vec{H} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\)

Equazioni delle onde

\[ \nabla^2 \]