Teoria delle categorie e Topologia

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Author: el_ces_94

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Appunti di topologia I per l'esame del prof Stramacccia su: categorie, funtori e trasformazioni naturali. Limiti e colimiti in una categoria. Spazi metrici e spazi topologici. Funzioni continue. …

Esame Topologia I

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Stramaccia Luciano

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2015-2016

126 pagine

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Teoria delle categorie

Fondata da S. Eilenberg e S. MacLane nel 1940. Si introduce il concetto di categoria, come continuità delle varie strutture, smussature e omofunzioni da categoria. Oggetti e morfismi sono i concetti chiave. La teoria è stata fondata a Perugia nel 1978/1979 con l'accesso di Caviere. I vantaggi di questa teoria risiedono nell'essere il linguaggio universale della matematica, facilitando la descrizione di molte proprietà universali che astraggono aspetti e classifiche di diversi problemi.

Inoltre, introducendo il concetto di duale in una categoria, lavorando su una dimostrazione, si può ottenere una dimostrazione duale associata.

Il cerchio unitario

Il disco unitario (S¹ con D¹) è complesso da costruire. Costruisco dei funtori che permettono di passare dall'ambito geometrico a quello algebrico.

X ente geometrico → Π(X) gruppo fondamentale di X
H(X) gruppo di coomologia di X

Ogni funzione f: X → Y che conserva la struttura induce:

Π(f): Π(X) → Π(Y)
H{}: H(X) → H(Y)

Il problema è confrontare Π(X) e H(X). Tornando all'esempio e passando al funtore Π nel problema banale, Π(S¹) = Z e Π(D¹) = {o}. Faccio ridere se una sfera mantiene gli occhi nodi fino al centro, collassando al centro e continuando all'infinito.

Teoria delle categorie

Fondata da S. Eilenberg e S. MacLane nel 1940, si introduce il concetto di categoria come continuità di varie strutture, ad esempio di funtore, ovvero il passaggio tra categorie è tutto riattribuito agli autori. La teoria è nata a Perugia nel 1983/1984, con la tesi di laurea. I vantaggi di questa teoria risiedono nell'essere il linguaggio universale della matematica in quanto permette una grande facilità di passaggio tra problemi diversi o all'interno dello stesso problema.

Inoltre, introducendo il concetto di duale di una categoria, lavorando su una dimostrazione, si ottiene pure quella duale associata.

Esempio

S¹ cerchio unitario
D¹ disco unitario (S¹ co¹)

Costruisco un funtore che mi permette di passare dall'ambito geometrico a quello algebrico.

X ente geometrico → π(X) gruppo fondamentale di X
H(X) gruppo di omologia di X

Ogni funzione f: X → Y che conserva la struttura induce unicamente:

π(f): π(X) → π(Y)
[f]: H(X) → H(Y)

Ora, il problema è confrontare π(X) e H(X).

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