Teoria degli insiemi, Geometria

Richiami della teoria degli insiemi

Definizione di insieme

Def. di insieme → Aggregato di elementi considerato come un tutto unico. (Cantor)

“Qualunque sia un insieme di oggetti ben distinti dalla nostra intuizione o dal nostro pensiero.”

Il numero degli elementi di un insieme può essere:

• Finito (si calcola numero)
• Infinito

Insieme universale (senso ampio) → Definito con U è l’insieme di tutti gli insiemi.

Insieme vuoto (Φ) → Insieme che non contiene alcun elemento.

Il numero di elementi che un insieme contiene è la sua cardinalità.

• Insiemi finiti
• Infiniti
• Numerabili
• Non numerabili

_A ̅ → Elementi che sono fuori il contorno della linea, siamo _A in un contenuto modo _A ̅ = U - _A

“A complementare” o “A negato”

Per indicare i sottoinsiemi di un insieme _E che sono indicati con P(_E) delle parti di _E, si scrive:

P{a,b,c} = { {a,b,c}; {a}, {b}; {b,c}; {c}; {b}; {a,c} }

Definizione di insieme e sottoinsiemi

Dato due insiemi _A e _B:

Def. di Insieme: Aggregato di elementi considerato come un tutto unico. (Cantor)

- “Qualunque tra un tutto di oggetti ben distinti dalla nostra intuizione e dal nostro pensiero.”

Il numero degli elementi di un insieme può essere:

• Finito (se quindi nullo)
• Infinito

Insieme Universale (senso ampio) - Definito ciò che è l'insieme di tutti gli insiemi.

Insieme Vuoto (ϵ) - Insieme che non contiene alcun elemento.

Il numero di elementi di un insieme conta e la sua cardinalità.

• Insiemi
• Finiti
• Infiniti
• Numerabili
• Non numerabili

A̅ = Elementi che sono fuori il contorno dell'insieme A, ma contenuti nello spazio.

A̅ = U \ A

“A complemento” o “A negato”

Per indicare i sottoinsiemi di un insieme E, che sono indicate con P(E) delle parti di E, si scrive:

P_ϵ: {a,b,c} = { {}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }

Operazioni tra insiemi

Detti due insiemi A e B:

Unione di due insiemi

Insieme formato dagli elementi appartenenti ad almeno uno dei due insiemi A e B

∪ = A ∪ B = {∅ | ∃ ∈ A oppure ∅ ∈ B}

Più utile per insiemi finiti e infiniti.

Intersezione di due insiemi

Insieme I formato dagli elementi appartenenti contemporaneamente ai due insiemi

∩ = A ∩ B = {∅ | ∅ ∈ A e ∅ ∈ B}

N.B.: Due insiemi si dicono disgiunti se la loro intersezione è vuota.

Diagrammi di Venn

• Unione
• Intersezione

Differenza di due insiemi

Insieme degli elementi di A che non sono elementi di B.

A - B = {∅ ∈ A e ∅ ∉ B}

Differenza simmetrica

A △ B è formato dagli elementi di uno, e di uno soltanto, dei due insiemi:

A △ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)

Insieme complementare

Se A è incluso in B, la differenza B - A = A.