Teoria Controlli automatici

Teoria controlli automatici

Stabilità

Stabilità: Il concetto di stabilità comporta la presenza di poli a parte reale strettamente minore di zero.

Routh: Non è un criterio di valutazione della stabilità di un sistema ma è semplicemente un criterio che permette di valutare il segno della parte reale delle radici del polinomio.

Stabilità a ciclo chiuso: Considerando il sistema seguente, con G(s) = N(s) / D(s), per valutare la stabilità a ciclo chiuso effettuiamo Y(s) = k G(s) = K N(s), R(s) / 1 + k G(s) = D(s) + N(s), e quindi si applica semplicemente Routh al denominatore.

Sistemi di primo ordine

Sistemi 1° ordine: È un sistema avente un solo polo, quindi risulta asintoticamente stabile se il sistema presenta un polo esattamente in P(s) = 1 / (s τ + 1), s = -1 / τ.

La costante di tempo caratterizza la velocità con cui il sistema parte, cioè più è piccola più il sistema sarà veloce e viceversa.

Tempo di assestamento: È quel tempo entro il quale il sistema si porta entro un certo valore assunto a regime. P(s) = 1.

Sistemi di secondo ordine con poli reali

Sistemi 2° ordine: È un sistema avente una coppia di poli reali del tipo P(s) = 1 / ((s τ₁ + 1)(s τ₂ + 1)).

(Poli reali) Analizzando il transitorio si nota che sono di fondamentale importanza le costanti di tempo, quindi si parla di Polo dominante andando a guardare quelli più lenti.

Discorso equivalente con gli zeri, tanto più lontani sono dall’asse Im più sono trascurabili.

Sistemi di secondo ordine con poli complessi

Sistemi 2° ordine: È un sistema caratterizzato da una fdt con due poli complessi e coniugati ed una w_n detta Pulsazione caratteristica del sistema e ξ Fattore di smorzamento.

Il sistema è del tipo: P(s) = 1 / (s² / w_n² + 2 ξ s / w_n + 1).

• Tempo di salita Ts: È il tempo che impiega il sistema a raggiungere il valore desiderato.
• Sovraelongazione: Parametro che misura l’ampiezza dell’oscillazione del sistema dopo aver superato il valore di regime.
• Tempo di assestamento (2%-5%): È il tempo impiegato dal sistema ad assestarsi intorno al valore raggiunto a regime.

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Risposta in frequenza

Esiste una dualità tra risposta nel dominio del tempo e risposta nel dominio della frequenza, infatti se G(s) tende a far passare segnali a frequenze elevate più veloce sarà la risposta nel dominio del tempo; viceversa se G(s) blocca dei segnali a frequenze elevate presenterà una risposta nel dominio del tempo molto lenta.

La risposta in frequenza permette di vedere il comportamento di un segnale a delle sinusoidi a varie frequenze, e siccome un qualsiasi segnale lo possiamo rappresentare come somma di sinusoidi, è possibile capire come un sistema risponde a qualsiasi segnale.

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u(t) = sin wt.

Se un sistema asintoticamente stabile viene sollecitato tramite un segnale d’ingresso questo fornisce una risposta a regime del tipo Y(t) = |G(jw)| sin(wt + arg ∠).

La risposta in frequenza può essere rappresentata con tre modi diversi: Bode, Nyquist e Nichols.

Vantaggi della retroazione

Considerando un qualsiasi sistema P, sostanzialmente abbiamo due modalità per controllarlo.

• 1] Controllo a catena aperta: Quando vogliamo che l’uscita assuma un certo andamento poniamo in cascata al sistema originale P un organo di controllo C che faccia assumere il comportamento desiderato.
• 2° Controllo a catena chiusa: W = CP.

Nel momento in cui il controllo viene effettuato a catena chiusa tra il regolatore ed il processo ci sarà sempre un Attuatore, in realtà sempre inglobato nel processo.

In retroazione, per misurare l’uscita Y si pone un Trasduttore.

W_c = CP / (1 + CPH).

L’obiettivo è quello di evitare che la fdt finale sia dipendente da un parametro α, ∂w / ∂α, quindi definiamo la Funzione sensitività S = (α / w) ∂w / ∂α.

A catena aperta otteniamo: S_wα = (∂w / ∂α)(α / w) = (∂P / ∂α)(α / P) = S_Pα, per cui una variazione di un parametro si ha pienamente sull’uscita.

A catena chiusa otteniamo S_wα = (∂w_c / ∂α)(α / w_c) = (1 / (1 + CPH)) S_Pα.

Per cui, ponendo CPH >> 1 si ottiene S ≅ 0, quindi il sistema è insensibile alle variazioni del parametro.

Attenzione perché CPH non è un numero ma un prodotto di fdt, quindi con CPH >> 1 si intende che in corrispondenza delle frequenze in cui il modulo di CPH è molto grande, solo allora la sensibilità alle variazioni parametriche diventa molto piccola.

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Se invece è il sensore H a presentare una variazione parametrica H(s,β).

Calcolando la sensitività al variare di β si ottiene: S_wβ = -CPH / (1 + CPH) S_Hβ.

Da cui se ne deduce che per |CPH| >> 1 la sensibilità del sistema al variare del parametro è direttamente proporzionale alla sensitività del sensore.

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Solitamente si utilizza una retroazione unitaria (H=1) infatti se non lo è potremmo utilizzare le regole degli schemi a blocchi.

Il problema è che non sempre si può effettuare l’inversa di una fdt, quindi non si può seguire l’obiettivo principale (uscita segue segnale di riferimento) anche perché spesso il riferimento è un segnale costante o nullo.

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Spesso, invece, deve controllare il sistema al variare dei disturbi, ovvero ingressi che non dipendono dalla nostra volontà.

• A catena aperta il disturbo lo si trova direttamente all’uscita: applichiamo la sovrapposizione degli effetti: Y = CPR + d.
• Per R=0 → Y_{catena chiusa} = d - A.

Considerando |CP| >> 1 si ha Y = CP / (1 + CP) R + 1 / (1 + CP) d, e Y ≅ R, Y_d ≅ 0, quindi con dei guadagni abbastanza elevati si riesce a rendere il sistema insensibile ai disturbi lungo la catena diretta.

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Se invece il disturbo (di misura) agisce sulla catena di retroazione, per il principio di sovrapposizione, si ha: Y = CP / (1 + CP) R + 1 / (1 + CP) d - CP / (1 + CP) d_m.

Per R, d = 0 → Y = -CP / (1 + CP) d_m.

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