Teoria con Dimostrazioni di Analisi 1

Numeri reali

I numeri reali ℝ sono un corpo commutativo totalmente ordinato e completo.

Assioma di completezza

C'è sempre un numero t ∈ ℝ tale che x ≤ t ≤ y.

Intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme I ⊆ ℝ tale che se x, y ∈ I e x ≤ t ≤ y allora t ∈ I. Possono essere illimitati o limitati se "contengono" l'infinito. Possono essere chiusi o aperti se contengono gli estremi.

Maggioranti e minoranti

Siano A ⊆ ℝ e t ∈ ℝ. Se t ∈ ℝ e ∀x ∈ X, x ∈ ℝ t si dice maggiorante di A. Il max e il min sono unici e non possono essere infinito. Se t ∈ ℝ e ∀x ∈ X, x ∈ ℝ t si dice minorante di A.

Insieme dei maggioranti e minoranti

L'insieme dei maggioranti di A è definito come l'insieme dei numeri reali che sono maggiori o uguali di ogni elemento di A. Si indicano con A^*. L'insieme dei minoranti di A è definito come l'insieme dei numeri reali che sono minori o uguali di ogni elemento di A. Si indicano con A^*.

Estremo superiore e inferiore

L'estremo superiore è il più piccolo elemento dei maggioranti. Se A è superiormente limitato, sup A = max. L'estremo inferiore è il più grande elemento dei minoranti. Se A è inferiormente limitato, inf A = min.

Numeri reali e assioma di completezza

I numeri reali ℝ sono un corpo commutativo totalmente ordinato e completo. I numeri razionali ℚ non bastano, dunque non sono completi. C’è sempre un numero ε ∈ ℝ tale che x ≤ ξ ≤ y.

Intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme I ⊆ ℝ tale che se x, y ∈ I e x ≤ ξ ≤ y allora ξ ∈ I. Possono essere illimitati o limitati se contengono l’infinito. Possono essere chiusi o aperti se contengono gli estremi.

Maggioranti e minoranti

Siano A ⊆ ℝ e ξ ∈ ℝ. Se ξ ∈ ℝ e ∃ x, ∀ x ∈ ℝ t si dirà l’assioma di A. Se ξ ∈ ℝ e ∃ x, ∀ x ∈ ℝ t si dirà minimo di A. Il max e il min sono unici e non possono essere infinito.

Insieme dei maggioranti e minoranti

L’insieme dei maggioranti di A è definito come l’insieme dei numeri reali che sono maggiori o uguali di ogni elemento di A. Si indicano con A☆. L’insieme dei minoranti di A è definito come l’insieme dei numeri reali che sono minori o uguali di ogni elemento di A. Si indicano con A∓.

Estremo superiore e inferiore

L’estremo superiore è il più piccolo elemento dei maggioranti. Se A è superiormente limitato, sup A = max. L’estremo inferiore è il più grande elemento dei minoranti. Se A è inferiormente limitato, inf A = min.

Proprietà dell'estremo superiore

Se A è superiormente limitato, il sup esiste sempre ed è unico.

Dimostrazione

Il sup è unico perché è un minimo di A^*. Usando la proprietà di completezza, sappiamo che esiste un numero tale che A ≤ ε < A^* e ε soddisfa le proprietà dell'estremo superiore. Se esiste il sup, non è detto che esista il max. Se esiste il max, coincide col sup.

Proprietà caratteristica del sup

Prendendo un insieme superiormente limitato A, α = sup A <=> { α ∈ A* ∀γ ∈ R con γ<α ∃ x ∈ A : x>γ

Dimostrazione

"=>" Sia α = sup, allora α = min A*, preso un numero più piccolo del mio A* esso apparterrà ad A. "<=" soddisfa le due condizioni α ∈ A*, allora non possiamo prendere un altro numero più piccolo di lui sennò ci ritroveremo in A, dunque α è sup (viceversa per l'inf).

Proprietà numeriche

• Se x, y ∈ R con x>0, ∃ n ∈ N tale che n x">"y
• Se x, y ∈ R con x>1, ∃ n ∈ N tale che x^n > y

Dimostrazione della densità

1. Supponendo per assurdo che l'ipotesi sia falsa, allora ∩ ≠ e questo comporta che l'insieme sia un insieme limitato, impossibile.
2. Supponendo per assurdo che l'ipotesi sia falsa, allora > log.

Insiemi densi

Un insieme è denso se ∀ x, y ∈ A ∃ t ∈ tale che x L'insieme IR è denso perchè formato da razionali e irrazionali, infatti denotiamo con ̃IR - Q ciò significa che ogni "buco" di Q è riempito da.

Dimostrazione

Presi due numeri x, y ∈ IR