Riassunto Teoria Analisi II

Teoria analisi II

1) Integrali doppi

Formula per insieme verticalmente convesso:

∫_a^b∫_γ1(x)^γ2(x) f dx dy = ∫_c^d∫_α(y)^β(y) f dy dx

Formula per insieme orizzontalmente convesso:

∫_c^d∫_α(y)^β(y) f dy dx = ∫_a^b∫_γ1(x)^γ2(x) f dx dy

Formula per il cambio di variabili:

∫∫ f(x(u,v),y(u,v)) det J (ξ(u,v)) du dv

Le coordinate polari:

x = ρ cosθ

y = ρ senθ

det J = ρ

Le coordinate ellittiche:

x = aρ cosθ

y = bρ senθ

det J = abρ

Nota bene:

Nel caso delle coordinate ellittiche, essendo l'eq. x²/a² + y²/b² = 1, una volta fatto il cambio di variabile ρ varia da 0 a 1.

Formula per il calcolo del baricentro:

Il baricentro o centro di massa è, come studiato in fisica, la somma delle distanze dei punti fratto la massa totale.

→ Massa Totale:

M = ∫_Ω ρ(x,y) dx dy

con ρ(x,y) = densità

x^* = 1/m ∫_Ω x ρ(x,y) dx dy

y^* = 1/m ∫_Ω y ρ(x,y) dx dy

Nel caso i centri sono traslati rispetto all'origine

x = K + ρ cosθ

y = K + ρ senθ

con K la traslazione valida sia per le c.c.f che per l'ellisse

Teoria analisi II

1) Integrali doppi

Formula per insieme verticalmente convesso:

\[\int_a^b \int_{\gamma_1(x)}^{\gamma_2(x)} f \, dy \, dx = \int_c^d \int_{\alpha_1(y)}^{\alpha_2(y)} f \, dx \, dy\]

Formula per insieme orizzontalmente convesso:

\[\int_c^d \int_{\alpha_1(y)}^{\alpha_2(y)} f \, dx \, dy = \int_a^b \int_{\gamma_1(x)}^{\gamma_2(x)} f \, dy \, dx\]

Formula per il cambio di variabili:

\[\iint_S f \big(\phi(u,v)\big) \cdot \det J \big(\phi(u,v)\big) \, du \, dv\]

Le coordinate polari:

\[x = \rho \cos \Theta\]

\[y = \rho \sin \Theta\]

\[\det J = \rho\]

Le coordinate ellittiche:

\[x = a \rho \cos \Theta\]

\[y = b \rho \sin \Theta\]

\[\det J = ab \rho\]

Nota bene:

Nel caso delle coordinate ellittiche, essendo l'eq. \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), una volta fatto il cambio di variabile \(\rho\) varia da \(0\) a \(1\).

Formula per il calcolo del baricentro:

Il baricentro (centro di massa)¹ è (come studiato in Fisica) la somma delle distanze dei punti fratto la massa totale.

Massa Totale:

\[M = \int_{\Omega} \rho(x,y) \, dx \, dy \quad con \, \rho(x,y) = \, densità\]

\[x^* = \frac{1}{m} \int_{\Omega} x \rho(x,y) \, dx \, dy\]

\[y^* = \frac{1}{m} \int_{\Omega} y \rho(x,y) \, dx \, dy\]

In particolare, se la densità è costante, m = ∫∫ dx dy, cioè l'area di Ω.

Formula per il calcolo del momento d'inerzia rispetto all'origine:

I_o = I_x + I_y = ∫∫(x² + y²)μ(x, y) dx dy = ∫∫d²μ(x, y) dx dy

con d² la distanza al quadrato dall'origine di un punto (x,y)

Formula per il calcolo dell'inerzia rispetto ad una retta qualunque:

I = ∫∫ d² μ(x, y) dx dy con d² distanza fra due punti

d² = (x-x_P)² + (y-y_P)² P(x, y)

Formula per il calcolo dell'area

Area (O) = ∫∫_O 1 dx dy

2) Integrali tripli

Formula di integrazione per fili:

Dato un insieme convesso o semplice rispetto a z, posso usare l'integrazione per fili come: ∫∫∫_O g(x, y, z) dx dy dz = ∫_O (∫_g1(x,y)^g₂(x,y) g(x,y,z)dz) dx dy

ρ ed il semplice se z è compreso fra due superfici

Figura 8.20. Insiemi semplici rispetto agli assi coordinati

Formula di integrazione per strati:

Data una funzione f(x, y, z) con z ∈ [α, β] posso usare l'integrazione per strati nel seguente modo:

∫∫∫_O g(x, y, z) dx dy dz = ∫_α^β(∫∫_g1^g₂dz)) dx dy

Figura 8.22. Integrazione per strati

Formule per il cambio di variabili

∭_Ω β dx dy dz = ∭ β⟦u,v,w⟧ ⋅ det J⟦ξ(u,v,w)⟧ du dv dw

Coordinate cilindriche:

x = ρ cosθ

y = ρ sinθ

z = ζ

det J = ρ

ρ ∈ [0,+∞]

θ ∈ [0,2π]

ζ ∈ ℝ