Teoria Analisi 2

Capitolo 1 - Curve in Rⁿ

Rⁿ è uno spazio vettoriale con una distanza euclidea tra punti: d(P,Q) = √((x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)² + ... + (x_n - y_n)²) ed è munito delle operazioni di somma e prodotto (anche per uno scalare): allora prodotto e prodotto definisce una norma: ||u|| = √(u₁² + u₂² + ... + u_n²).

Se d è una distanza su Rⁿ, il tutto {Rⁿ, d} verrà detto spazio metrico. La distanza verifica:

1. d(P,Q) ≥ 0, ∀ P, Q ∈ Rⁿ e d(P,Q) = 0 se e solo se P≡ Q;
2. d(P,Q) = d(Q,P) ∀ P, Q ∈ Rⁿ;
3. d(P,Q) ≤ d(P,R) + d(Q,R) ∀ P, Q, R ∈ Rⁿ — *.

La distanza rappresenta la lunghezza del segmento P = P₀. Fissato un punto P₀, possiamo rappresentare ogni altro punto P utilizzando le coordinate polari (ρ, θ) rispetto a P₀, dove ρ = d(P,P₀) e θ ∈ [0,2π] è l’angolo formato dal segmento con la retta passante, uscente da P₀ e avente come asse delle ascisse:

x = x₀ + ρ cosθ
y = y₀ + ρ sinθ

Nel caso circolare P₀ = (0,0) a valore di multipli interi di π, risulta θ = arctan (^y₀/_x0).

In generale, fissati i parametri a, b > 0 e un punto P_o, possiamo rappresentare ogni punto P utilizzando le coordinate polari ellittiche:

x = x₀ + aρ cosθ
y = y₀ + bρ sinθ

dove ρ = √((x - x_o)²/a² + (y - y_o)²/b²) ∈ [0,∞] e θ ∈ [0,2π] (a valore di multipli interi di π), sarà dato da arctan (^{y - y₀}/_{x - x0}).

Capitolo 1 - Curve in ℝⁿ

ℝⁿ è uno spazio metrico con una distanza euclidea tra punti: d(P,Q)=√((x₁-y₁)² + (x₂-y₂)² + ... + (x_n-y_n)²) ed è munito delle operazioni di somma e prodotto (anche per uno scalare) - detto prodotto e parallele definizioni una norma: ‖u‖=√(u₁² + u₂² + ... + u_n²).

Da distanza verifica:

1. d(P,Q)≥0 ∀ P,Q ∈ ℝⁿ e d(P,Q)=0 se e solo se P≡Q;
2. d(P,Q)=d(Q,P) ∀ P,Q ∈ ℝⁿ;
3. d(P,Q)≤d(P,R)+d(Q,R) ∀ P,Q ∈ ℝⁿ.

La distanza rappresenta la lunghezza del segmento P=P₀. Fissato un punto P₀, possiamo rappresentare ogni altro punto P utilizzando le coordinate: (ρ,ϑ) rispetto a P₀ dove ρ=d(P,P₀) e ϑ ∈ [0,2π] è l'angolo formato dal segmento con la semiretta passante. Uscente da P₀ e p.x = x₀ + ρ cosϑ y = y₀ + ρ sinϑ.

Nel caso in cui P₀ = (0,0) a meno di multipli interi di π, risulta ϑ = arctan(^y/_x).

In generale, fissati 2 parametri a, b > 0 e un punto P₀, possiamo rappresentare ogni punto P utilizzando le coordinate:

x = x₀ + a cosϑ
y = y₀ + b sinϑ

essendo ϑ = √[(^x-x₀/_a)² + (^y-y₀/_b)²] ∈ [0,π] e ϑ ∈ [0,2π] (a meno di multipli interi di π sarà dato da arctan(^y-y₀/_x-x0)).

∀ g > 0 e ∃ ∈ [0,2π) il punto P appartiene all'ellisse:

(x-x₀)²/g²a² + (y-y₀)²/g²b² = 1

Possiamo provare inoltre che ∀ λ = ⅟₂ = (|v₁||v₂|1-cosg°) (è l'angolo compreso tra i 2 vettori) 1/|u| ≃ v/|v| ∥ = 1 |||| 1 |||| v ||/|| u ||².

Una curva parametrizzata ρ(t) con t parametro detta curva la cui immagine ρ(I) è detta sostegno se è una curva cui sostegno è detto curva piana. Se ρ: [a,b] è una curva, i punti ρ(a) e ρ(b) sono detti punto iniziale e finale. Se ρ(a) = ρ(b) la curva è detta chiusa. La curva è detta semplice se presi 2 punti distinti t₁ e t₂ di cui almeno 1 interno all'intervallo risulta ρ(t₁) ≠ ρ(t₂).

Una curva parametrizzata ρ(t) è detta di classe C₁ se le sue componenti risultano derivabili, di classe C₁ a tratti, se esiste una partizione in un numero finito di intervalli, tale che ρ risulta C₁ in ogni subintervallo. Una curva si dice regolare se risulta di classe C₁ e se ρ'(t) ≠ 0 ∀ t → regolare.