Teoremi analisi matematica 1 (con dimostrazioni)

TEOREMI FONDAMENTALI DI ANALISI MATEMATICA 1 CON DIMOSTRAZIONI

TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE ′ ′

∈ ℝ, ∈ ℝ ≠

Se la successione converge a essa non può convergere ad un altro con

--

Dimostrazione: ′ .

=

Il teorema, ci dice che il limite di una successione deve essere necessariamente

′

≠

Supponiamo invece per assurdo che il limite dia come risultato . ′

Per la definizione di successione convergente ad e rispettivamente, di successione convergente ad

avremo che: |

∀ > ∃ > . ∀ > − | <

.

Questo vale, per le successioni che ammettono come risultato del limite un numero finito

Questo deve risultare definitivamente, come deve risultare definitivamente che:

|

∀ > ∃ > . ∀ > − ′| <

Quindi abbiamo: | − | <

| − ′| <

Se ricordiamo il teorema riguardante le proprietà che valgono definitivamente in maniera simultanea.

Quindi: ′

| |

0 ≤ −

Andando ad aggiungere e togliere ′ ′

|( | |

) ( )|

= − + − ≤ − + | − |

Guardando: | − | <

| − ′| <

Quindi: ′

| |

− + | − | ≤ 2

Ma questa relazione è assurda.

Perché questa relazione deve valere: ∀ >

Basti pensare come ad esempio: ′

| |

−

= 2

ricordiamo, è un valore positivo arbitrariamente piccolo a piacere può valere così.

Quindi abbiamo detto che: ′

| |

− ≥ 0

Ma se: ′

| |

− < 2

′

|− |

=

Se 2 ′

| |

−

′

| |

− < 2 2

′ ′

| | | |

− < − ‼! ′ .

≠

In conclusione, se questa relazione è falsa, allora non può avvenire che

TEOREMA SULL’ESISTENZA DEI LIMITI DI SUCCESSIONI MONOTONE

( )

Sia una successione reale monotona. Allora esiste il limite:

→+∞

In particolare:

( )

- Se è crescente allora:

= sup

→+∞

( )

- Se è decrescente allora:

= inf

→+∞

Dimostrazione:

( ) .

Prendiamo estremo inferiore della successione e Per definizione di estremo inferiore

abbiamo che: ≤ ∀ ∈ ℕ

> 0,

Ed inoltre, fissato esiste tale che:

≤ < +

Per ipotesi sappiamo che la successione è decrescente, ne segue che:

≤ ≤ < + ∀ ≥

Dalla definizione di limite si ha: = = inf

→+∞

inf = −∞

Supponiamo che ∀ > 0 ∃ ∈ ℕ < −

Per la decrescenza della successione segue che:

≤ < − ∀ ≥

E quindi: = −∞ = inf

→+∞

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

∈ ℝ.

Sia una successione convergente a

̅ ̅

. ∀ > >

Se L > 0, allora esiste

̅ ̅

. ∀ > <

Se L < 0, allora esiste

{ }

Se la successione è regolare ed ha un limite diverso da zero, allora, i suoi termini hanno

definitivamente lo stesso segno del limite.

Dimostrazione:

{ } > 0 → > 0

supponiamo e

Visto che la successione tende ad finito, possiamo applicare la definizione di limite. Ovvero:

|

∀ > 0 ∃ > 0: ∀ ∈ ℕ > − | <

− < < +

Visto che è un numero piccolo arbitrario, prendo ad esempio:

= 2

Otteniamo quindi:

− < < +

2 2

3

< <

2 2

A questo punto, per ipotesi è positivo, e quindi abbiamo che se è positivo, è compresa fra due numeri

positivi. { } > 0 → > +∞

supponiamo e

per definizione di successione divergente positivamente:

∀ > 0 >

> 0 > 0

Ma questa è immediata perché se avremo che anche

TEOREMA DI LIMITATEZZA } } .

Siano date due successioni { e {

= 0 = 0

1)

→∞ →∞

è

2)

Dimostrazione:

1. è limitata: cosa vuol dire?

| |

∃ > 0 . ∀ ≥ 1 <

2. = 0

→∞

| | | |

∀ > 0 ∃ > 0 . ∀ > = <

Mettiamo insieme 1) e 2)

| | | || |

∀ > 0 ∃ > 0 . ∀ > ∗ = < =

Ho scritto: =

→∞

CRITERIO DI LEIBNITZ

Sia ∞

(−)

∑

=1

Una serie a termini alterni, se:

=

1.

→∞

∀ ≤

2. +

Inoltre, le somme parziali di indice pari approssimano la somma per eccesso, quelle di indice dispari per

difetto; il resto della serie è maggiorato, in valore assoluto, dal primo termine trascurato. In formule, detta

la somma della serie, si ha: 2

= ∑(−1) ↓ ;

2

=0

2+1

(−1)

= ∑ ↑

2+1

=0

∞

| | = ≤

|∑(−) |

=

Dimostrazione:

Se consideriamo la successione delle somme parziali, , e le due espressioni, estratte da questa e

2

. Consideriamo dapprima la successione , così formata:

2+1 2 =

0 0

= − + ≤ ℎè ≤

2 0 1 2 0 2 1

= − + ≤ ℎè ≤

4 2 3 4 2 4 3

{ }

Come si vede la successione è monotona decrescente. In modo del tutto analogo si dimostra che la

2

{ }

successione è crescente. Inoltre:

2+1 ≤

≤ = − ≤

2+1 0

1 2+1 2 2

{ } { }

Perciò è superiormente limitata e Le due successioni sono quindi

è inferiormente limitata.

2+1 2

convergenti, per il teorema di monotonia; possiamo anche dire che convergono allo stesso limite perché:

0 ≤ → 0

− ≤ 2+1

2 2+1

Detto questo limite comune, abbiamo allora provato:

2

= ∑(−1) ↓

2

=0

Proviamo ora che: 2+1

(−1)

= ∑ ↑

2+1

=0

Possiamo scrivere: ≤ ≤

2−1 2

≤ ≤

2+1 2

Da cui si deduce: 0 ≤ − ≤ − =

2 2−1 2 2−1 2

0 ≤ − ≤ − =

2 2 2+1 2+1

Perciò (per sia pari che dispari) si ha: | | | |

= − ≤

2−1

Dimostrazione 2: = 2

consideriamo la somma parziale di indice pari della serie a termini alterni

= − + − + ⋯ + − ⇒

2 1 2 3 4 2−1 2

( ) ( )

⇒ = − + − + ⋯ + ( − )

2 1 2 3 4 2−1 2

In questa ultima espressione di i termini rappresentati da ciascuna parantesi sono positivi perché, per

2

≤ ),

ipotesi ( i termini sono decrescenti.

+

( ) ( )

= − + − + ⋯ + ( − )

Pertanto, da deduciamo che:

2 1 2 3 4 2−1 2

> 0

2

E che la successione delle somme parziali di indice pari è crescente.

D’altra parte, si può anche scrivere: ( ) ( )

= − − − ⋯ − − −

2 1 2 3 2−2 2−1 2

Anche in quest’ultima espressione di i termini rappresentate in ciascuna parentesi sono positivi, ed è

2

quindi evidente che si ha: <

2 1

Ossia la successione delle somme parziali di indice pari è limitata. :

Tale successione, essendo crescente e limitata, ammette senz’altro limite finito, che indichiamo con

=

2

→+∞

Da quanto abbiamo detto fino ad adesso è chiaro poi che:

0 < <

1

Però non possiamo anc