Teoremi Analisi 2

Cap. 1 calcolo differenziale

Teorema dei valori intermedi

Sia f(x,y) continua in A ⊂ ℂ. Dom. f. insieme convesso per archi. Allora presi comunque (x₀,y₀), (x₁,y₁) ∈ A, la funzione assume tutti i valori compresi tra i valori f(x₀,y₀) e f(x₁,y₁).

Dim

Dato che A è un insieme connesso per archi, presi comunque P₀ = (x₀,y₀) e P₁ = (x₁,y₁) in A sia φ : [0,1] ⊂ ℝ → ℝ² una curva di sostegno φ([0,1]) ⊂ A. φ(0) = P₀ e φ(1) = P₁, e considero la funzione F(t) = f(φ(t)) t ∈ [0,1], F essendo f(x,y) continua in A la φ(t) continua in [0,1] con φ([0,1]) ⊂ A ho che F(t) risulta continua in [0,1] e, da teorema valori intermedi per funzioni di variabile reale, ho che F(t) assume tutti i valori compresi tra F(0) = f(x₀,y₀) e F(1) = f(x₁,y₁) e dunque che f(x,y) assume tutti i valori compresi tra f(x₀,y₀) e f(x₁,y₁).

Teorema derivabilità funzioni differenziabili

Se f(x,y) risulta differenziabile in (x₀,y₀) con df(x₀,y₀)(h_x,k) = A h + B k allora f(x,y) risulta derivabile parzialmente in (x₀,y₀) con ∂f(x₀,y₀)/∂x = A e ∂f(x₀,y₀)/∂y = B ove risulta df(x₀,y₀)(h_x,k) = ∂f/∂x (x₀,y₀)h_x + ∂f/∂y (x₀,y₀)k = ∇f(x₀,y₀)(h_x,k).

Cap. 1 calcolo differenziale

Teorema dei valori intermedi

Sia f(x,y) continua in A ⊂ ℝ². Dom. f. insieme convesso per archi. Allora presi comunque (x₀,y₀), (x₁,y₁) ∈ A la funzione assume tutti i valori compresi tra i valori f(x₀,y₀) e f(x₁,y₁).

Dim

Dato che A è un insieme convesso per archi, presi comunque P₀=(x₀,y₀) e P₁=(x₁,y₁)∈A sia φ: [0,1]⊂ℝ → ℝ² una curva di sostegno φ([0,1])⊂A ∧ φ(0)=P₀ ∧ φ(1)=P₁, è cont. di φ la funzione F(t)={ f(φ(t)) t∈[0,1].

Essendo f(x,y) continua su A e φ(t) continua in [0,1]⇒ con φ([0,1])⊂A ∧ ho che F(t) è continua in [0,1] e, dai teorema valori intermedi per func. ai t variabili reali, ho che F(t) assume tutti i valori compresi tra F(0)=f(x₀y₀) e F(1)=f(x₁y₁) e dunque che f(x,y) assume tutti i valori compresi tra f(x₀y₀) e f(x₁y₁).

Teorema derivabilità funzioni differenziabili

Se f(x,y) risulta differenziabile in (x₀,y₀) con df(x₀y₀)(h₁,k) = A h + B k allora f(x,y) risulta derivabile parzialmente in (x₀,y₀) con ∂f/∂x (x₀,y₀)=A e ∂f/∂y (x₀,y₀)=B Ove 0 risulta ⇒ df(x₀y₀)(h,k)= ∂f/∂x (x₀y₀)h+ ∂f/∂y (x₀y₀)k = ∇f(x₀y₀)·(h,k).

Dim

Poiché f(x,y) risulta differenziabile in (x₀,y₀), per (x,y) → (x₀,y₀) ho che ∃ A, B ∈ ℝ /f(x,y)=f(x₀,y₀)+A (x-x₀)+B(y-y₀)+ o ( |√(x-x₀)²+(y-y₀)²| ).

Da cui f(x₀+h_x,y₀)=f(x₀,y₀)+Δh_x+o(h_x) per h → 0.

E quindi ∂f(x₀,y₀)∂x = lim_h→0 f(x₀+h, y₀)-f(x₀,y₀)h