Teoremi di Analisi 2

Disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare

∀ x, y ∈ ℜⁿ |x + y| ≤ |x| + |y|

Dimostrazione

|x + y|² = (x + y) • (x + y) = x(x + y) + y(x + y) == x • x + x • y + x • y = |x|² + 2x • y + |y|² ≤ |x|² + 2|x||y| + |y|²_{(CS) Cauchy-Schwarz} = (|x| + |y|)²

Rettificabilità delle curve C¹

Se γ è di classe C¹ → γ è Rettificabile e ℓ(γ) = ∫_a^b |l^'(t)| dt.

Dimostrazione di (a) e solo (b)

ρ = partizione di [a,b], ℓ(ρ) = ∑_i=1ⁿ |l(t_i) - l(t_i+1)| =

Siccome l ∈ C¹ uso il T.F.C. = ∑_i=1ⁿ ∫_ti^t_i+1 l^'(t) dt ≤ ∑_i=1ⁿ ∫_ti^t_i+1 |l^'(t)| dt = ∫_a^b |l^'(t)| dt → sup ℓ(ρ) ≤ ∫_a^b |l^'(t)| dt.

Disuguaglianze di Cauchy-Schwarz e triangolare

∀x, y ε ℜ |x+y| ≤ |x|+|y|

Dimostrazione

|x+y|² = (x+y)⋅(x+y) = x(x+y)+y(x+y) == x⋅x + x⋅y + y⋅x + y⋅y = |x|² + x⋅y + x⋅y + |y|² ≤ |x|² + 2|x||y| + |y|² (CS Cauchy-Schwarz) = (|x|+|y|)²

Rettificabilità delle curve C¹

Se Γ ⊂ ℜ^d di classe C¹ ⇒ Γ è Rettificabile e ℓ(β) = ^b∫_a |β'(t)| dt

Dimostrazione di (a) e solo se di (b)

𝕰 = partizione di [a,b], ℓ(P) = ∑ _i=1ⁿ |β(t_i) - β(t_i+1)| =

Siccome β &element; C² uso il T.F.C. = ∑ _i=1ⁿ |∫_ti^t_i+1 β'(t) dt | ≤ ∑ _i=1ⁿ ∫_ti^t_i+1 |β'(t)| dt = ∫_a^b |β'(t)| dt ⇒ sup ℓ(β) ≤ ^b∫_a |β'(t)| dt

Ascissa curvilinea

È una parametrizzazione equivalente

f.f.c.

Costruzione s: s = Prop. è param. equiv. di

Dim., v(t) = = v(t)

Indipendenza dell'integrale dal cambiamento di parametro della curva

∀ f curva reg. Se r̃, r̄ è parametr. equiv. o cambio d'orientaz. ⇒ ∫_r̃ f ds = ∫_r̄ f ds   ∀ f: ℓ continuous

r: [a, b] → ℝ^m t → r(t)

r̃ : [c, d] → ℝ^m r̃ (u) = r (φ(u))

φ : [c, d] → [a, b] biettiva e C¹.

Caso φ'

∫_r̄ f ds = _{def. b}∫_a f (r(t)) |r'(t)| dt =         ⎧t = φ(u)         ⎨dt = φ'(u) du         ⎩φ(c) = b          φ(d) = a

  = ∫_c^d f (r(φ(u))) |r'(φ(u))| φ'(u) du

       L_b - |φ'(u) r'(φ(u))| = - [ r̃'(u) ]

  = ∫_d^c f (r̃(u)) |r̃'(u)| du  = _def. ∫_r̃ f ds

Teorema degli zeri

f : ̅X _{→ ℝ} continua, ̅x ⊆ ̅Xⁿ convesso, ∃ x, z ∈ ̅X t.c. f(x) > 0, f(y)

Dimostrazione

̅X convesso r(a) = x, r(b) = y ⇒ ∃ r : [a,b] _→ ̅X cont., y ∈ ̅X

g(t) : = f(r(t))

g : [a,b] _{→ ℝ} è continua

g(a) = f(x) > 0, g(b) = f(z) per il teorema degli zeri per n = 1 ⇒ ∃ _t ∈ [a, b] ; g(t) = 0 z : = r(t)

z ∈ ̅X e f(z) = 0

Funzioni differenziabili e loro proprietà

f diff. le in x₀ ⇒ i) f è continua in x₀; ii) ∃ ∂f/∂x_i (x₀) ∀i = 1,…,n

Dimostrazione

i) 0 ≤ |f(x₀ + h) - f(x₀)| _def. = |a · h + σ(|h|)| (dis. triang.) ≤ |a| · |h| + |σ(|h|)| _(cs) ≤ |a| |h| + σ(|h|)₀

Per il teor. zcc ⇒ lim_h->0 f(x₀ + h) - f(x