Teoremi sulle serie 2

Teoremi sulle serie

21. Successioni di funzioni

Definizione. Sia una successione di funzioni definite in un sottoinsieme non vuoto E ⊆ X dei numeri reali, (f_n)_n∈N. Fissiamo un punto x e consideriamo i valori assunti dalle funzioni f_n(x), con n∈N. In tal modo otteniamo una successione numerica.

Diciamo che la successione (f_n)_n∈N converge in x se la successione numerica (f_n(x))_n∈N converge.

L'insieme dei punti in cui la serie (f_n(x)) converge è detto insieme di convergenza (puntuale) della serie. Al variare di x nell’insieme di convergenza E otteniamo una funzione della variabile x definita in E. Tale funzione è detta limite puntuale (o, più semplicemente, limite) della successione, o si dice che la successione (f_n(x)) converge puntualmente (o, più semplicemente, converge) alla funzione f(x). Si scrive:

f(x) = lim_n→∞ f_n(x).

Definizione. Sia una successione di funzioni definite in un sottoinsieme non vuoto E ⊆ X dei numeri reali, (f_n)_n∈N. Diciamo che tale successione converge uniformemente in E alla funzione f: E → R, se:

lim_n→∞ |f_n(x) − f(x)| = 0, ∀x ∈ E.

Teorema. La convergenza uniforme implica quella puntuale.

Dimostrazione. La tesi si deduce immediatamente dall’essere, per ogni x in E:

|f_n(x) − f(x)| ≤ |f_n(x) − f(x)|.

Il teorema non può essere invertito.

Esempio. Sia f_n(x) = xⁿ, con x ∈ [0,1]. La successione f_n(x) converge puntualmente a:

• 1 per x = 1;
• 0 per x ∈ [0,1).

La convergenza però non è uniforme. Infatti:

|f_n(x) − f(x)| ≥ 1/2, per x ∈ [0,1].

Osserviamo che le definizioni di convergenza puntuale e uniforme possono essere formulate anche nel modo seguente.

Definizione. Si dice che la successione (f_n)_n∈N è puntualmente convergente alla funzione f(x) in E se:

∀ε > 0, ∀x ∈ E, ∃n₀ = n₀(ε,x): n > n₀ → |f_n(x) − f(x)| < ε.

Definizione. Si dice che la successione (f_n)_n∈N è uniformemente convergente alla funzione f(x) sull’intervallo E se:

∀ε > 0, ∃n₀ = n₀(ε): n > n₀ → |f_n(x) − f(x)| < ε, ∀x ∈ E.

Criterio di Cauchy per le successioni di funzioni

Criterio di Cauchy per le successioni di funzioni. La successione di funzioni (f_n)_n∈N converge uniformemente in E se e solo se per ogni ε > 0 esiste n₀ tale che per ogni n > n₀, per ogni x ∈ E e per ogni numero naturale p si ha:

|f_n+p(x) − f_n(x)| < ε.

Dimostrazione. Se (f_n) converge uniformemente in E allora:

∀ε > 0, ∃n₀: ∀n > n₀ → |f_n(x) − f(x)| < ε, ∀x ∈ E.

Quindi:

f_n+p(x) − f_n(x) = f_n+p(x) − f(x) − f_n(x) + f(x).

Si ha:

|f_n+p(x) − f_n(x)| ≤ |f_n+p(x) − f(x)| + |f_n(x) − f(x)|.

E, infine:

|f_n+p(x) − f_n(x)| ≤ |f_n+p(x) − f(x)| + |f_n(x) − f(x)| < 2ε.

Viceversa, se si assume la condizione (&), ∀ε > 0, ∃n₀: ∀n > n₀, si ha:

|f_n+p(x) − f_n(x)| < ε, ∀x ∈ E.

Per ogni x ∈ E la successione numerica (f_n(x)) è una successione di Cauchy. Applicando il criterio di Cauchy relativo alle successioni numeriche, è convergente. Detto f(x) tale limite, per mostrare che la convergenza è anche uniforme in E, fissato un numero reale ε > 0 e determinato il corrispondente n₀, si passi al limite per p → ∞ nella:

|f_n+p(x) − f_n(x)| < ε, ∀x ∈ E.

Continuità e convergenza uniforme

Teorema. Sia data una successione di funzioni (f_n(x))_n∈N, convergente uniformemente in E alla funzione f(x). Se tutte le funzioni f_n(x) sono continue in x₀ ∈ E, allora anche f(x) è continua in tale punto.

Dimostrazione. Dobbiamo mostrare che:

∀ε > 0, ∃δ: |x − x₀| < δ → |f(x) − f(x₀)| < ε.

Si osservi che:

|f(x) − f(x₀)| = |f(x) − f_n(x) + f_n(x) − f_n(x₀) + f_n(x₀) − f(x₀)|

≤ |f(x) − f_n(x)| + |f_n(x) − f_n(x₀)| + |f_n(x₀) − f(x₀)|.

Fissato ε > 0:

• Per la convergenza uniforme, per n sufficientemente alto si ha |f_n(x) − f(x)| < ε/3, ∀x ∈ E;
• Per la continuità di ogni funzione della successione esiste δ: |x − x₀| < δ → |f_n(x) − f_n(x₀)| < ε/3;
• Per la convergenza puntuale in x₀ si ha |f_n(x₀) − f(x₀)| < ε/3.

Quindi f è continua in x₀.

Corollario. Sia data una successione di funzioni (f_n(x))_n∈N, convergente uniformemente in E alla funzione f(x). Se tutte le funzioni f_n(x) sono continue in E, allora anche f(x) è continua in E.

Integrazione e convergenza uniforme

Teorema. Sia data una successione di funzioni (f_n(x))_n∈N, convergente uniformemente in E alla funzione f(x). Se tutte le funzioni f_n(x) sono continue in E, allora, per ogni intervallo [a,b] ⊆ E, vale l’uguaglianza:

∫_a^b f(x)dx = lim_n→∞ ∫_a^b f_n(x)dx.

Dimostrazione. Se tutte le funzioni f_n(x) sono continue in E, allora anche f(x) è continua e ha senso considerare ∫_a^b f_n(x)dx, ∫_a^b f(x)dx, perché le funzioni continue sono integrabili su ogni intervallo compatto.

Per la convergenza uniforme della successione, qualsiasi sia ε > 0, per un n sufficientemente grande si ha |f_n(x) − f(x)| < ε/(b−a), per x ∈ E. Di conseguenza:

|∫_a^b f_n(x)dx − ∫_a^b f(x)dx| ≤ ∫_a^b |f_n(x) − f(x)|dx < ε.

Che è ciò che andava dimostrato.

Nel precedente teorema l’ipotesi della convergenza uniforme è necessaria. Infatti, si consideri la successione:

f_n(x) = 2nxe^−nx², nell’intervallo [0,1].

La successione converge puntualmente a 0 nell’intervallo [0,1]. Quindi:

∫_a^b lim_n→∞ f_n(x)dx = 0, ma:

lim_n→∞ ∫₀¹ 2nxe^−nx²dx = lim_n→∞ (1 − e⁻ⁿ) = 1.

Quindi:

∫_a^b lim_n→∞ f_n(x)dx ≠ lim_n→∞ ∫_a^b f_n(x)dx.

Anche l’ipotesi che gli intervalli siano compatti è necessaria. Infatti, si consideri la successione:

f_n(x) = 1/(2n) per |x| < n; f_n(x) = 0 per |x| ≥ n.

Che converge uniformemente a 0 in R. Quindi:

∫_a^b lim_n→∞ f_n(x)dx = 0, ma:

lim_n→∞ ∫_−nⁿ 1/(2n) dx = lim_n→∞ 1 = 1.

Quindi:

∫_a^b lim_n→∞ f_n(x)dx ≠ lim_n→∞ ∫_a^b f_n(x)dx.

Derivazione e convergenza uniforme

Teorema. Sia data una successione di funzioni (f_n(x))_n∈N. Si supponga che:

• La successione (f_n(x)) sia convergente puntualmente alla funzione f(x) per x ∈ E;
• Tutte le funzioni f_n(x) siano derivabili in E e abbiano derivate prime continue;
• La successione (f'_n(x)) sia uniformemente convergente alla funzione g(x) in E.

Allora:

• La funzione f(x) è derivabile in E;
• f'(x) = g(x);
• La successione (f'_n(x))_n∈N converge uniformemente ad f'(x) in ogni intervallo compatto [a,b] ⊆ E.

Dimostrazione. Sia x₀ ∈ E, è noto che:

f_n(x) = f_n(x₀) + ∫_x0^x f'_n(x)dx.

Qualsiasi l’indice n e il numero x ∈ E. Passando al limite per n → ∞ e applicando il teorema precedente, si ha:

f(x) = f(x₀) + ∫_x0^x g(x)dx.

Tale uguaglianza mostra che f(x) è una delle primitive di g(x), le quali si ottengono tutte aggiungendo una costante alla funzione integrale. Quindi f(x) è derivabile e:

f'(x) = g(x).

Infine, preso [a,b] ⊆ E e posto x₀ = a, essendo:

f(x) = f(a) + ∫_a^x g(x)dx,

f_n(x) = f_n(a) + ∫_a^x f'_n(x)dx,

si ottiene:

f_n(x) − f(x) = f_n(a) − f(a) + ∫_a^x [f'_n(x) − g(x)]dx,

da cui:

|f'_n(x) − g(x)|, x ∈ [a,b].