Teoremi analisi 1

Teorema di unicità del limite

Siano {a_n} ⊆ ℝ, l ∈ ℝ. Se {a_n} converge ad l, allora l è unico.

Dimostrazione per assurdo

Supponiamo per assurdo che {a_n} converga a due valori distinti l₁ e l₂ con l₁ < l₂.

Scegliamo ε = (l₂ - l₁)/2. In corrispondenza di ε, esistono N₁ e N₂ tali che:

• Per ogni n ≥ N₁, |a_n - l₁| < ε,
• Per ogni n ≥ N₂, |a_n - l₂| < ε.

Per ogni n ≥ max(N₁, N₂), risulta:

• |a_n - l₁| < ε,
• |a_n - l₂| < ε.

Quindi: |l₁ - l₂| < l₂ - l₁, il che è assurdo. ∎

Teorema del doppio confronto o dei carabinieri o di convergenza obbligata

Siano {a_n}, {b_n}, {c_n} ⊆ ℝ, l ∈ ℝ. Se:

1. lim_n→∞ a_n = l,
2. lim_n→∞ c_n = l,
3. Per ogni n ∈ ℕ, a_n ≤ b_n ≤ c_n,

Allora lim_n→∞ b_n = l.

Dimostrazione

Dato l ∈ ℝ, dobbiamo verificare che per ogni ε > 0, esista N tale che per ogni n ≥ N: |b_n - l| < ε.

Fissiamo ε > 0. Per la definizione di limite, esistono N₁ e N₂ tali che:

• Per ogni n ≥ N₁, |a_n - l| < ε,
• Per ogni n ≥ N₂, |c_n - l| < ε.

Quindi, per ogni n ≥ max(N₁, N₂), abbiamo:

• l - ε < a_n ≤ b_n ≤ c_n < l + ε.

Alla luce delle nostre ipotesi, risulta che lim_n→∞ b_n = l. ∎

Teorema di Bolzano o degli zeri

Sia f: [a, b] → ℝ una funzione. Se:

1. f(a)f(b) < 0,
2. f è continua,

allora esiste un x₀ ∈ (a, b) tale che f(x₀) = 0.

Dimostrazione

Esistono x₁, x₂ tali che:

• lim_n→∞ f(x₁) = 0,
• lim_n→∞ f(x₂) = 0.

Se f(a) ≠ 0, si può dimostrare che:

• (b - a)/(b - a) = 0 < lim_n→∞ f(x₂) = f(x₀),

è crescente {a_n} e decrescente {b_n}. Per il teorema di regolarità delle successioni monotone:

• lim_n→∞ f(b)lim_n→∞ f(x) ≥ 0.

∎