Sul calcolo della radice ennesima e sul reciproco della radice quadrata di un numero

Sul calcolo della radice ennesima

E sul reciproco della radice quadrata di un numero

Cristiano Teodoro

cristianoteodoro at virgilio.it

In un articolo comparso recentemente su questo Sito [1] veniva esposto come calcolare tutte le radici sia reali che

complesse di una equazione algebrica di qualsiasi grado e avente coefficienti reali.

Un tipo particolare di equazioni di grado è quello che si presenta sotto la seguente forma:

n

−

n = 0 per cui risolvendola con l’algoritmo summenzionato si possono calcolare tutte le sue radici sia reali che

x a n

complesse.

Riguardo poi il tipo di valori ottenuti per tale equazione si rileva quanto segue:

• Per un si hanno radici reali di valore opposto e radici che risultano complesse e coniugate

n pari 2 n - 2

a coppie;

• Per un si ha una sola radice reale ed radici complesse coniugate a coppie

n dispari n - 1

Per trovare il valore algebrico della radice reale di questo tipo di equazione, che risulta essere evidentemente la radice

n

ennesima di cioè, non è tuttavia necessario utilizzare l’algoritmo generale summenzionato, ma è sufficiente

a

a,

prendere in esame l’algoritmo di Newton relativo al calcolo delle radici reali.

−

n

Pertanto considerando la funzione (x) =, partendo dalla generica formula iterativa riguardante questo

x a

f

algoritmo, cioè: ( )

f x

= − con k = 0, 1, 2, 3 …

k

x x

+1 ′

k k ( )

f x k

n

per la quale si ha: lim = per k → ∞ dove è la derivata di (x),

a

x f ’(x) f

k n

si può ottenere con una convergenza di tipo quadratico, il valore numerico di reale positiva.

a

n

Affinché poi si abbia convergenza verso la con un numero limitato di iterazioni risulta opportuno scegliere il

a

= n

valore iniziale di valore superiore al valore di a e possibilmente dello stesso ordine di grandezza di

x x a.

0

k −

⋅ 1

n

Poiché per questa equazione si ha = la formula iterativa dopo opportuni e semplici passaggi diventa [2]:

n x

f ’(x)

⎡ ⎤ ⎛ ⎞

1 1

a a

( ) ⎜ ⎟

− ⋅ + +

1

⎢ ⎥

= che, per = 2 cioè per il calcolo di assume la nota formula =

x x

n x a x

n

+ +

−

1 1

1 ⎝ ⎠

⎣ ⎦ 2

k k

k n k

n x

x k

k

Un semplicissimo programma di tipo didattico espresso in linguaggio Qbasic viene qui di seguito presentato e proposto:

CLS : PRINT "------ Calcolo della radice ennesima di un numero -----"

’DEFDBL A-Z