Sul calcolo approssimato della radice di indice k di un numero a

√

k

Sul calcolo approssimato di a

Stefano Costa

14 maggio 2012 √

Queste pagine descrivono un metodo per calcolare a in modo approssimato utilizzando le quattro operazioni elementari; il valore ricavato al primo tentativo è in genere abbastanza accurato da consentire di raggiungere una precisione notevole attraverso poche iterazioni di approssimazione successive.

Nella pratica il calcolo manuale è applicabile per radici quadrate o cubiche, ma il metodo verrà esposto nella sua generalità, con esempi per radici di ordine superiore.

α |x|

Consideriamo lo sviluppo di Taylor per (1 + x)^α, |x| < 1:

∞

α x→0

X m

α ≈

x 1 + αx (1)

(1 + x)^α = m

m=0

√ 0.1

3 ≈

1.1 1 + = 1.0333, il valore corretto essendo

per cui si ha ad esempio 3

1.0323. Va detto per inciso che dall’approssimazione considerata è possibile ricavare l’iterazione di Newton: ponendo α = 1/k si ha

s kn

√ kn −

− a x

a x

q

k k

kn kn

≈ − ≈

k

x a = a + x x = x 1 + x +

n+1 n n k−1

kn

x kx n

− 1 a

k 1 x +

= n k−1

k k x n

|x| ⇒

Mettiamo subito in evidenza che |x| < 1 0 < 1 + x < 2, pertanto operativamente è necessario portarsi in queste condizioni: volendo calcolare √3 = 1.732 non si scriverà √3 = 1 + 2 ≈ 1 + 2/2 = 2, bensì

√ √

p · − ≈ −

3 = 4 3/4 = 2 √0.75 = 2 √(1 − 0.25) ≈ 2(1 − 0.25/2) = 1.75

Detti ora ξ = √a ed ε una (piccola) perturbazione della soluzione ξ, utilizzando ancora una volta la (1) si ha: →0

n

kn k k k k ≈

x = (ξ(1 + ε_n))^k = ξ^k(1 + ε_n)^k = a(1 + ε_n)^k ≈ a(1 + kε_n)

e pertanto kn

≈ −

ε_n (x_n/a − 1)/k

Come vedremo dagli esempi, solitamente il valore di primo tentativo x₀ è sufficientemente accurato, ossia ε₀ è sufficientemente piccolo, da consentire di raggiungere una precisione di 6 cifre significative in sole 2 o 3 iterazioni di Newton.

1 1

Il metodo

Il metodo che ci apprestiamo ora a descrivere è ispirato da un report di K. Turkowski per il calcolo della radice cubica.

Brevemente, si parte dall’osservazione che

√ √

√ k k

p

kp

k a = 2 b = 2 √b

e pertanto la radice k−esima di qualsiasi numero è in relazione semplice con quella di un numero 2^kp più piccolo: in altre parole, calcolare la radice k−esima di qualsiasi numero può ricondursi a calcolare quella di un numero

1 ≤ b < 2.