Studio di funzione
x = y ( )
2
−
11 3 x
Si tratta di una funzione irrazionale fratta.
Per svolgere lo studio di funzione, è necessario procedere per passi.
1) Dominio della funzione
La funzione presenta due criticità:
- L’incognita sotto una radice di indice pari (funzione irrazionale): in questo caso il radicando deve essere maggiore di 0;
- L’incognita al denominatore (funzione fratta): in questo caso il denominatore deve essere diverso da 0.
Nello specifico: ≥
→ ≥
3 x 0 x 0
( ) 121
2
− ≠
→ ≠
→ ≠
11 3 x 0 3 x 11 x 3
Quindi la funzione esiste solo nella parte positiva delle ascisse e presenta una discontinuità nel punto avente ascissa 121/3. [ ) ( )
121 121 +∞
U
0
; ;
3 3
2) Studio del segno
Per studiare il segno, è necessario porre la funzione maggiore o uguale a zero.
x ≥ 0
( )
2
−
11 3 x
Risolvendo si ottiene: ≥
→ ≥
N 0 x 0
( )
>
→ − >
→ ∀ ∈ ℜ
D 0 11 3 x 0 x
Poiché la funzione esiste solo per valori positivi delle x (cfr. Dominio), possiamo dire che essa, dove esiste, è positiva. 1
3) Intersezioni con gli assi
Intersezione con l’asse delle ordinate (x=0)
= =
x 0 x 0 =
x 0 ( )
⇒ ⇒ ⇒
A 0
;
0
x 0
= = =
y y y 0
−
− 2
2 (
11 0
)
(
11 3 x )
Intersezione con l’asse delle ascisse (y=0)
= =
y 0 y 0 =
y 0
⇒ ⇒ ⇒
A
( 0
;
0
)
x x
= = =
y 0 x 0
− −
2 2
(
11 3 x ) (
11 3 x )
La funzione ha un solo punto di intersezione con gli assi ed esso si trova nell’origine.
4) Limiti
È utile calcolare i limiti nei punti esclusi dal dominio della funzione e all’infinito. In questo caso, tuttavia, risulta essere inutile studiare il limite per x che tende a meno infinito. La funzione è infatti definita solo per valori di x positivi. Studieremo quindi soltanto il limite destro e sinistro del punto x=121/3 ed il limite della funzione per x che tende a più infinito.
121 121
x 3 3
= = = +∞
lim ( ) − +
−
2 2
+ (
11 11 ) 0
+
121
→ 11 3 x
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