Analisi matematica I - Appunti dalle lezioni

Studio della funzione

Definizione

La funzione è una relazione tra due o più incognite: per ogni elemento del dominio corrisponde solo un elemento del co-dominio ➔ dominio di partenza ➔ dominio di arrivo.

x²=y ➔ non è una funzione poiché il grado di x è superiore a 1 e la funzione non può avere più di una soluzione.

f: A(Di) ➔ B(D2) ∃!x∈A ∃!y∈B. Scritta meglio ∀x∈A ∃!y∈B, f: A ➔ B.

Se f: X ➔ y ⇒ y = f(x).

Se f: A ➔ B allora avremo che f(a) = b.

Proprietà: la funz. può essere...

• Iniettiva se ∀a,b∈D1 con a≠b ⇒ f(a) ≠ f(b). Ad un elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento di B (1)-(1).
• Suriettiva se ∀y∈D2 ∃!x∈D1 f(a) = x f: ℝ ➔ ℝ f(x) = x. Ad un elemento di A corrisponde almeno un elemento di B (1)-(1,2).
• Biiettiva ➔ con entrambe le precedenti.
• Crescente m I se ∀a,b∈I retta passante per (a,f(a)) e (b,f(b)) si trova sopra f(x) in (a,b).
• Concava m I se ∀a,b∈I retta passante per (a,f(a)) e (b,f(b)) si trova sotto f(x) in (a,b).
• Convessa m I se ∀a,b∈I retta passante per (a,f(a)) e (b,f(b)) si trova sopra f(x) in (a,b).
• Decrescente m I se ∀a,b∈I con a.

Scrittura della funzione

B(D₂) ∀x∈A ∃y∈B.

Scritta meglio ∀x∈A ∃!y∈B f: A -> B.

Se f: A -> B allora avremo che f(a) = b.

Se f: X -> Y ⇒ y = f(x).

Proprietà: la funz. può essere...

• Iniettiva se ∀a,b∈D₁ con a≠b => f(a)≠f(b).
• Suriettiva se ∀y∈D₂ ∃!a∈D₁ | f(a)=y.
• Biettiva -> con entrambe le precedenti.
• Crescente m I se ∀a,b∈I retta passante per (a,f(a)) e (b,f(b)) si trova sopra f(x) in (a,b).
• Convessa m I se ∀a,b∈I retta passante per (a,f(a)) e (b,f(b)) si trova sotto f(x) in (a,b).
• Decrescente m I se ∀a,b∈I con a.