Metodi Matematici - risposte aperte

Per una funzione f(x): R→R, dare la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore infinito.

Per ogni k reale, esiste un M, tale che, se x è maggiore di |M|, allora f(x) è maggiore di |k|.

Per una funzione f(x): R→R, dare la definizione di limite finito per x che tende ad un valore infinito.

È il limite di f(x) per x che tende a infinito, se per ogni ε>0 esiste un M, tale che, se x>M (se x tende a + infinito) oppure se x<-M (se x tende a - infinito), allora f(x) dista da l meno di ε.

Per una funzione f(x): R→R, dare la definizione di limite infinito per x che tende ad un valore finito.

Per ogni k reale, esiste un δ positivo, in generale dipendente da k, tale che, se x dista da X0 meno di δ, allora f(x)>|k|.

Enunciare il teorema della permanenza del segno, dandone l'interpretazione grafica.

Se il limite per x che tende a x0 di f(x) è diverso da zero, allora in un intorno conveniente di x0, f(x) ha lo stesso segno del limite.

Enunciare il teorema della permanenza del segno, dandone l'interpretazione grafica.

Se una funzione in un punto x0 è dotata di limite diverso da 0, allora esiste almeno un intorno I di x0 tale che per tutti i punti di I i valori della funzione hanno lo stesso segno del limite.

Enunciare il teorema dell'esistenza e unicità del limite, con la dimostrazione.

Il teorema di unicità del limite assume forme diverse a seconda dei contesti ma in ciascuno di questi afferma che non possono esserci due limiti. Se il limite di x che tende a x0 di f(x) è uguale a l esiste, allora esso è unico.

Enunciare il teorema dell'esistenza e unicità del limite, con la dimostrazione.

Se una funzione in un punto è dotata di limite finito allora esso è unico.

Enunciare il teorema del confronto detto anche "dei carabinieri", dandone l'interpretazione grafica.

Il teorema del confronto permette di calcolare il limite di una funzione confrontandola con altri due oggetti analoghi che si stringono sempre di più intorno a quello dato.

Enunciare il teorema del confronto detto anche "dei carabinieri", dandone l'interpretazione grafica.

Date tre funzioni h(x), f(x), g(x):

• Se h(x) e g(x) tendono in un punto x0 allo stesso limite finito.
• Se esiste un interno I del punto x0 in cui f(x) è compresa tra h(x) e g(x) in tutti i punti dell'intorno I escluso al più x0 stesso, allora anche f(x) avrà in x0 limite uguale ad I.