Studi di Funzioni Razionali - Esercizi

Svolgimento degli studi di funzione del testo Matematica.blu 2.0 Vol. 5

(Bergamini, Trifone, Barozzi)

Esercizi a partire da pag. 1878 p. 2

................................................. p. 11

..................................... p. 20

................................................. p. 29

................................................. p. 38

..................................... p. 47

............................................. p. 56

................................................. p. 65

..................................... p. 74

..................................... 1

Studio della seguente funzione

Studio della funzione:

2

x

y = 2 1

x +

Generalità sulla funzione

** **

Funzione pari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 1 0

x + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

0

-1

-2

-3 0 1 2

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

0 ; 0

( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim 1 y 1

x asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x +1

x→-∞ 2 1 y 1

lim x asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x +1

x→∞

Asintoti

y 1

=

Studio della continuità

** **

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

2 x

y (1) (x)= 2

2 1

+

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ ∞

2

x 2

2 1

x + ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

f x

1

( ) (x) = 2

2

x +1

2

2-6

f x

2

( ) (x) = 3

2

x +1

Passaggi per determinare i punti stazionari

x 0 y 0 0 y 0 2

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

1

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

** **

2

2 1

x

3 -

y (2) (x)=- 3

2 1

x +

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1 1

-

-∞ ∞

3 3

-2 3

2 1

x +

2

3 1

-

x ︵ ︶ ︵

⟷ ⟷

Punti di flesso

1 1

;

-

 

4

3

1 1

; 

 4

3

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

3 3

m = -

1 8

3 3

m =

2 8

Tangenti nei punti di flesso

1

t y 3 1

x

= -3 -

)

1 8

1

t y 3 1

x

= 3 -

)

2 8

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Grafico in dettaglio

2.0

1.5

1.0

0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

2.0

1.5

1.0

0.5 0.5 1.0 1.5

-1.5 -1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 1.1347841 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

** **

2 1

x +

y = 2 2 1

x

x - +

La funzione si semplifica nel seguente modo:

2 1

x +

y = 2

1)

(x -

Studio della seguente funzione

2 1

x +

y = 2 2 1

x x

- +

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 2 1 0

x x

- + ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;1[ ⋃ ]1;∞[

oppure

 = -{1}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1

- 1

2

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

12 ; 0

0 ; 1 -

( )  

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 2

lim 0 y 0

x+1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+1

-2

x→-∞ 2 x 1

lim x+1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x x+1

-2

x→1 - 2 x 1

lim x+1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x x+1

-2

x→1 + 2 0 y 0

lim x+1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x x+1

-2

x→∞

Asintoti

y 0

=

x 1

=

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità 2

x lim x+1

Discontinuità di II specie

=1 = ∞

1 2

x x+1

-2

x→1 - 2

lim x+1 = ∞

2

x x+1

-2

x→1 +

f( 1 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

2 2)

(x +

y (1) (x)=- 3

1)

(x -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

1

-∞ -2 ∞

-2 ⨯

3

1)

(x - ⨯

2

+

x ↘ ︶ ↗ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

13

;

-2 - Minimo relativo

  →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

13

;

-2 - Minimo relativo

  →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

f (x+2)

1

( ) (x) = - 3

(x-1)

2

f x+7)

(2

2

( ) (x) = 4

(x-1)

Passaggi per determinare i punti stazionari 2

x y 0 y

(1) (2)

= -2 ( -2 ) = ( -2 ) =

1 27

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

** **

2 7)

x

(2 +

y (2) (x)= 4

1)

(x -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

7 1

-

-∞ ∞

2 ⨯

2 ⨯

4

1)

(x - ⨯

2 7

+

x ︵ ︶ ︶

⟷

Punti di flesso

72 8

;

- -

 

27

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

8

m = -

1 243

Tangenti nei punti di flesso

4

t y 25)

x

= - (2 +

)

1 243

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico

10

8

6

4

2 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Grafico in dettaglio

2.0

1.5

1.0

0.5 1 2

-4 -3 -2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

2.0

1.5

1.0

0.5 1 2

-4 -3 -2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

Tempo di elaborazione: 1.1706023 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

2 1

x +

y = 2 9

x -

Generalità sulla funzione

** **

Funzione pari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

2 9 0

x - ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;-3[ ⋃ ]-3;3[ ⋃ ]3;∞[

oppure

 = 3}

-{-3,

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 3

-3

0

-1

-2

-3 0 2 4

-4 -2

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

19

0 ; -

 

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti

2

lim 1 y 1

x +1 asintoto orizzontale

= ⇒ =

2

x -9

x→-∞ 2 x

lim x +1 asintoto verticale

= ∞ ⇒ = -3

2

x -9

x→-3 - 2 x

lim x +1 asintoto verticale

= -∞ ⇒ = -3

2

x -9

x→-3 + 2 x 3