Studi di Funzioni Razionali fratte

Svolgimento degli studi di funzione del testo Matematica.blu 2.0 Vol. 5

(Bergamini, Trifone, Barozzi)

Esercizi a partire da pag. 1878 p. 2

....................................... p. 11

.......................................... p. 21

................................................... p. 32

................................................... p. 41

............................................. p. 50

................................................. p. 59

................................................. p. 68

................................................. p. 77

.......................................... 1

Studio della seguente funzione: 4

y 6

= -x - +

x

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 5 3 5

3 +

-

0

-1

-2

-3 0 2 4 6

-2

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

3 5 ; 0 3 5 ; 0

   

- +

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 4

lim 6 y 6 x asintoto obliquo

-x - + = ∞ ⇒ = -

x

x→-∞ 4 6 x 0

lim asintoto verticale

-x - + = ∞ ⇒ =

x

x→0 - 4 6 x 0

lim asintoto verticale

-x - + = -∞ ⇒ =

x

x→0 + 4 6 y 6

lim x asintoto obliquo

-x - + = -∞ ⇒ = -

x

x→∞

Asintoti

y 6 x

= -

x 0

=

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità 4

x lim 6

Discontinuità di II specie

=0 -x - + = ∞

1 x

x→0 - 4

lim 6

-x - + = -∞

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

2) 2)

(x - (x +

y (1) (x)=- 2

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 2

-∞ -2 ∞

-1 2

-

x ⨯

2

x ⨯

2

+

x ↘ ︶ ↗ ↗ ︵ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

; 10 Minimo relativo

( -2 ) →

2 ; 2 Massimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

; 10 Minimo relativo

( -2 ) →

2 ; 2 Massimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

4

f 1

1

( ) (x) = -

2

x 8

f 2

( ) (x) = - 3

x

Passaggi per determinare i punti stazionari

x y 0 y 1

(1) (2)

= -2 ( -2 ) = ( -2 ) =

1 2 y 2 0 y 2

x (1) (2)

= ( ) = ( ) = -1

2

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

8

y (2) (x)=- 3

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

-8 ⨯

3

x ︶ ︵

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 20

10 2 4

-4 -2 -10

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 10

8

6

4

2 2 4 6

-2

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

10

8

6

4

2 2 4 6

-2

Tempo di elaborazione: 1.1382106 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

9

y 1

x

= + -

x

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

0

-1

-2

-3 0 1 2

-2 -1

Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 9

lim 1 y 1

x x asintoto obliquo

+ - = -∞ ⇒ = -

x

x→-∞ 9 1 x 0

lim x asintoto verticale

+ - = -∞ ⇒ =

x

x→0 - 9 1 x 0

lim x asintoto verticale

+ - = ∞ ⇒ =

x

x→0 + 9 1 y 1

lim x x asintoto obliquo

+ - = ∞ ⇒ = -

x

x→∞

Asintoti

y 1

x

= -

x 0

=

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità 9

x lim 1

Discontinuità di II specie x

=0 + - = -∞

1 x

x→0 - 9

lim 1

x + - = ∞

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

3) 3)

(x - (x +

y (1) (x)= 2

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 3

-∞ -3 ∞

3

-

x ⨯

2

x ⨯

3

+

x ↗ ︵ ↘ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

; Massimo relativo

( -3 -7 ) →

3 ; 5 Minimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

; Massimo relativo

( -3 -7 ) →

3 ; 5 Minimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

9

f 1

1

( ) (x) = - 2

x

18

f 2

( ) (x) = 3

x

Passaggi per determinare i punti stazionari 23

x y 0 y

(1) (2)

= -3 ( -3 ) = ( -3 ) = -

1 2

x 3 y 3 0 y 3

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

2 3

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

6 Derivata seconda e punti di flesso

** **

18

y (2) (x)= 3

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

⨯

18 ⨯

3

x ︵ ︶

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda è stato restituito in forma semplificata

è possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico 20

10 2 4

-4 -2 -10

-20

-30

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 6

4

2 2 4

-4 -2 -2

-4

-6

-8

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 6

4

2 2 4

-4 -2 -2

-4

-6

Creato da Roberto Caria per skuola.net

10 -8

Tempo di elaborazione: 0.9904019 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione:

1

y x

= + x

Generalità sulla funzione

** **

Funzione né pari né dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}