Studi di funzioni polinomiali

Svolgimento degli studi di funzione del testo Matematica.blu 2.0 vol. 5

(Bergamini, Trifone, Barozzi)

Esercizi a partire da pag. 1876 p. 3

.................................... p. 12

............................................ p. 23

................................................ p. 32

...................................... p. 41

.......................................... p. 49

.................................... p. 58

................................. p. 67

............................................ p. 76

................................................. p. 85

............................................ p. 94

........................................... p. 103

............................ p. 112

........................................... p. 121

...................................... p. 130

............................................ p. 139

................................. p. 148

.................................... p. 157

..................................... p. 166

.......................... p. 175

................................... p. 185

................................ p. 194

.................... 1

Studio della seguente funzione

4 2

y 3 2

x x

= - +

Generalità sulla funzione

Funzione pari

Dominio

Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Dominio della funzione

2



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1 2

2 -1

-

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-3 -2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

0 ; 2 ; 0 1 ; 0 2 ; 0 2 ; 0

( ) ( -1 ) ( )    

-

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

Limiti

4 2

lim 3 2

x x

- + = ∞

x→-∞ 4 2

3 2

lim x x

- + = ∞

x→∞

La funzione non ammette asintoti

Studio della continuità

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

4

2

y 3

(1) x x

(x)=2 2 -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

3 3

0

-∞ ∞

- 2 2

2

x 2

2 3

-

x ↘ ︶ ↗ ︵ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

3 14

; Minimo relativo

 

- - →

2

0 ; 2 Massimo relativo

( ) →

3 14

; Minimo relativo

 

- →

2

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

0 ; 2 Massimo relativo

( ) →

3 14

; Minimo relativo

 

- - →

2

3 14

; Minimo relativo

 

- →

2

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

3

f 4 6

1

( ) x x

(x) = -

2

f 12 6

2

( ) x

(x) = -

Passaggi per determinare i punti stazionari

x 0 y 0 0 y 0

(1) (2)

= ( ) = ( ) = -6

1 3 3 3

x y 0 y 12

(1) (2)

= -   =   =

- -

2 2 2 2

3 3 3

y 0 y 12

x (1) (2)

=   =   =

3 2 2 2

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

6

2

y 1

(2) x

(x)=6 2 -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1 1

-

-∞ ∞

2 2

6 2

2 1

-

x ︶ ︵ ︶

⟷ ⟷

Punti di flesso

1 3

;

-

 

4

2

1 3

; 

 4

2

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

m 2

= -2

1 2 2

m =

2

Tangenti nei punti di flesso

11

t y 2 2 x

= -

)

1 4 11

t y 2 2 x

= +

)

2 4

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

Grafico panoramico 500

400

300

200

100 2 4

-4 -2

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 3

2

1 1 2

-2 -1 -1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 3

2

1 1 2

-2 -1 -1

Tempo di elaborazione: 1.0187936 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

3

y 12

x x

= -

La funzione si semplifica nel seguente modo:

2

y 12

x

= x -

Studio della seguente funzione:

3

y 12

x x

= -

Generalità sulla funzione

Funzione dispari

Dominio

Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0

3 2 3

-2

0

-1

-2

-3 0 2 4

-4 -2

Intersezioni con gli assi cartesiani

0 ; 0 3 ; 0 2 3 ; 0

( )    

-2

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

Limiti

3

lim 12

x x

- = -∞

x→-∞ 3 12

lim x x

- = ∞

x→∞

La funzione non ammette asintoti

Studio della continuità

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

4

y 2) 2)

(1) (x)=3 (x - (x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

2

-∞ -2 ∞

3 2

-

x 2

+

x ↗ ︵ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

; 16 Massimo relativo

( -2 ) →

2 ; Minimo relativo

( -16 ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

; 16 Massimo relativo

( -2 ) →

2 ; Minimo relativo

( -16 ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

f 3 4

1

( ) (x) = x -

f 6

2

( ) x

(x) =

Passaggi per determinare i punti stazionari

x y 0 y

(1) (2)

= -2 ( -2 ) = ( -2 ) = -12

1 2 y 2 0 y 2 12

x (1) (2)

= ( ) = ( ) =

2

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

6

y (2) x

(x)=6

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

6

x ︵ ︶

⟷

Punti di flesso

0 ; 0

( )

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

m = -12

1

Tangenti nei punti di flesso

t y x

= -12

)

1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

Grafico panoramico 60

40

20 2 4

-4 -2 -20

-40

-60

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 15

10

5 2 4

-4 -2 -5

-10

-15

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 15

10

5

Creato da Roberto Caria per skuola.net

10 2 4

-4 -2 -5

-10

Creato da Roberto Caria per skuola.net 11

-15

Tempo di elaborazione: 0.9519814 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

2 3

y x x

= -

La funzione si semplifica nel seguente modo:

2

y 1) x

= -(x -

Studio della seguente funzione:

2 3

y x x

= -

Generalità sulla funzione

Funzione né pari né dispari

Dominio

Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 0 1

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

0 ; 0 1 ; 0

( ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

Limiti

2 3

lim x x

- = ∞

x→-∞ 2 3

lim x x

- = -∞

x→∞

La funzione non ammette asintoti

Studio della continuità

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

4

y 2)

(1) x

(x)=-x (3 -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

2

0

-∞ ∞

3

-1

x

3 2

-

x ↘ ︶ ↗ ︵ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

23 4

; Massimo relativo

  →

27

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

0 ; 0 Minimo relativo

( ) →

23 4

; Massimo relativo

  →

27

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

f 3

1

( ) x) x

(x) = (2 -

f 2 6

2

( ) x

(x) = -

Passaggi per determinare i punti stazionari

x 0 y 0 0 y 0 2

(1) (2)

= ( ) = ( ) =

1 23 2

2

x y 0 y

(1) (2)

=   =   = -2

2 3

3

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

6

y 1)

(2) x

(x)=-2 (3 -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

1

-∞ ∞

3

-2

3 1

-

x ︶ ︵

⟷

Punti di flesso

1 2

;

 

3 27

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

1

m =

1 3

Tangenti nei punti di flesso

1

t y 1)

x

= (9 -

)

1 27

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

Grafico panoramico 150

100

50 2 4

-4 -2 -50

-100

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 1.0

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

1.0

0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0 -0.5 -0.5

-1.0

Tempo di elaborazione: 0.8398651 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

3

y 3 2

x x

= - +

Generalità sulla funzione

Funzione né pari né dispari

Dominio

Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1

-2

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-4 -3 -2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

0 ; 2 ; 0 1 ; 0

( ) ( -2 ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

Limiti

3

lim 3 2

x x

- + = -∞

x→-∞ 3 3 2

lim x x

- + = ∞

x→∞

La funzione non ammette asintoti

Studio della continuità

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

4

y 1) 1)

(1) (x)=3 (x - (x +

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

1

-∞ -1 ∞

3 1

-

x 1

+

x ↗ ︵ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

; 4 Massimo relativo

( -1 ) →

1 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

; 4 Massimo relativo

( -1 ) →

1 ; 0 Minimo relativo

( ) →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

f 3 1

1

( ) (x) = x -

f 6

2

( ) x

(x) =

Passaggi per determinare i punti stazionari

x y 0 y

(1) (2)

= -1 ( -1 ) = ( -1 ) = -6

1 1 y 1 0 y 1 6

x (1) (2)

= ( ) = ( ) =

2

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

6

y (2) x

(x)=6

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

0

-∞ ∞

6

x ︵ ︶

⟷

Punti di flesso

0 ; 2

( )

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

m = -3

1

Tangenti nei punti di flesso

t y 2 3 x

= -

)

1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

Grafico panoramico 100

50 2 4

-4 -2 -50

-100

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 5

4

3

2

1 1 2

-3 -2 -1 -1

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1 5

4

3

2

1 1 2

-3 -2 -1 -1

Tempo di elaborazione: 0.8209978 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

4 2

y 16

x x

= -

La funzione si semplifica nel seguente modo:

2 2

y 16

x

= x -

Studio della seguente funzione:

4 2

y 16

x x

= -

Generalità sulla funzione

Funzione pari

Dominio

Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 4

-4

0

-1

-2

-3 0 2 4 6

-6 -4 -2

Intersezioni con gli assi cartesiani

0 ; 0 ; 0 4 ; 0

( ) ( -4 ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

Limiti

4 2

lim 16

x x

- = ∞

x→-∞ 4 2

16

lim x x

- = ∞

x→∞

La funzione non ammette asintoti

Studio della continuità

La funzione é continua in tutto il suo dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

4

2

y 8

(1) x

(x)=4 x -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0

-∞ ∞

2 2 2

-2

4

x 2 8

-

x ↘ ︶ ↗ ︵ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

2 ; Minimo relativo



 -64

-2 →

0 ; 0 Massimo relativo

( ) →

2 ;

2 Minimo relativo



 -64 →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

0 ; 0 Massimo relativo

( ) →

2 ; Minimo relativo



 -64

-2 →

2 ;

2 Minimo relativo



 -64 →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

f 4 8

1

( ) x

(x) = x -

2

4 8

f 2

( ) x

(x) = 3 -

Passaggi per determinare i punti stazionari

x 0 y 0 0 y 0

(1) (2)

= ( ) = ( ) = -32

1

x 0 y 64

2 y (1) (2)

2 2

 =  =

= -2  

-2 -2

2

x 0 y 64

2 2 y (1) (2)

2 2

2 2

 =  =

=  

3

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

6

2

y 8

(2) x

(x)=4 3 -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

2 2

2

-∞ ∞

-2 3 3

4 2

3 8

-

x ︶ ︵ ︶

⟷ ⟷

Punti di flesso

2 320

;

 

-2 -

3 9

2 320

;

2 

 -

3 9

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

2

128 3

m = -

1 3

2

128 3

m =

2 3

Tangenti nei punti di flesso

64

t y 6 3

x

= - 2 -

)

1 9

64

t y 6 3

x

= 2 +

)

2 9

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

Grafico panoramico 100

50 2 4

-4 -2 -50

Creato da Roberto Caria per skuola.net

8 Grafico in dettaglio 2 4

-4 -2 -10

-20

-30

-40

-50

-60

Tempo di elaborazione: 1.0600299 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione

4 2

y 5 4

x x

= - +

Generalità sulla funzione

Funzione pari

Dominio

Non ci sono condizioni da applicare per il calcolo del dominio

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione



oppure

 = x∈

∀

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1 2

-2 -1

0

-1

-2

-3 0 2 4

-4 -2

Intersezioni con gli assi cartesiani

0 ; 4 ; 0 ; 0 1 ; 0 2 ; 0

( ) ( -2 ) ( -1 ) ( ) ( )

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

Limiti

4 2

lim 5 4

x x

- + = ∞

x→-∞ 4 2

5 4

lim x x

- + = ∞

x→∞

La funzione non ammette asintoti