Funzioni Razionali fratte - Esercizi

Svolgimento degli studi di funzione del testo Matematica.blu 2.0 Vol. 5

(Bergamini, Trifone, Barozzi)

Esercizi a partire da pag. 1883 p. 2

...................... p. 11

....................................... p. 21

........................................... p.30

.......................................... p.41

............................................ p.50

..................................... p.59

..................................... p.67

.............................. p.76

.......................... 1

Studio della seguente funzione

** **

3 2

2 2 1

x x x

- - +

y = 2

x

La funzione si semplifica nel seguente modo:

1 2

y 2 1

x

= + - -

2 x

x

Studio della seguente funzione:

3 2

2 2 1

x x x

- - +

y = 2

x

Generalità sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

0

x ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

]-∞;0[ ⋃ ]0;∞[

oppure

 = -{0}

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 1

0 1

-1 2

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-3 -2 -1

Intersezioni con gli assi cartesiani

** **

1 ; 0

; 0 1 ; 0

( -1 )   ( )

2

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 3 2

2

lim y 2 1

x x+1

-x -2 x asintoto obliquo

= -∞ ⇒ = -

2

x

x→-∞ 3 2

2 x 0

lim x x+1

-x -2 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x

x→0 - 3 2

2 x 0

lim x x+1

-x -2 asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

2

x

x→0 + 3 2

2 y 2 1

lim x x+1

-x -2 x asintoto obliquo

= ∞ ⇒ = -

2

x

x→∞

Asintoti

y 2 1

x

= -

x 0

=

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità 3 2

2

x lim x x+1

-x -2

Discontinuità di II specie

=0 = ∞

1 2

x

x→0 - 3 2

2

lim x x+1

-x -2 = ∞

2

x

x→0 +

f( 0 ) = ∄

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

3

2 1

x

x + -

y (1) (x)= 3

x

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

0 0.682

-∞ ∞

⨯

2 ⨯

3

x 3 1

+ -

x x ↗ ↘ ︶ ↗

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

0.682 ; Minimo relativo

( -0.42 ) →

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

3

3 2 93

9+  -2 3 Minimo relativo

→

93

9+ ; -0.419

2/3

6

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

3

2 x +x-1

f 1

( ) (x) = 3

x

6-4

f x

2

( ) (x) = 4

x

Passaggi per determinare i punti stazionari

3 3

3 3

2 93 2 93

1 9+  -2 9+  -2

x y 0 y

(1) (2)

3 3

= =

1 93

9+ 93

9+

2/3

6 2/3 2/3

6 6

3

2 93 2 15.1

3 9 +  - =

3 93

9+

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Derivata seconda e punti di flesso

** **

2 3)

x

(2 -

y (2) (x)=- 4

x

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

3

0

-∞ ∞

2

-2 ⨯

4

x

2 3

-

x ︶ ︶ ︵

⟷

Punti di flesso

3 10

;

 

2 9

Coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso

62

m =

1 27

Tangenti nei punti di flesso

62 7

t y x

= -

)

1 27 3

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico

20

10 2 4

-4 -2 -10

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Grafico in dettaglio

2.0

1.5

1.0

0.5 1 2

-2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio con proporzioni 1:1

2.0

1.5

1.0

0.5 1 2

-2 -1 -0.5

-1.0

-1.5

Tempo di elaborazione: 1.4846804 s

Creato da Roberto Caria per skuola.net 1

Studio della seguente funzione: 1

y = 5 3

3 5

x x

-

Generalità sulla funzione

** **

Funzione ne pari ne dispari

Dominio

** **

Condizioni per determinare il dominio

5 3

3 5 0

x x

- ≠

Creato da Roberto Caria per skuola.net

2 Dominio della funzione

5 5 5 5

;0[ ;∞[

]-∞;- [ ⋃ ]- ⋃ ]0; [ ⋃ ]

3 3 3 3

oppure

 = 5 5 5

, 0,

]-∞; [⋃]0;∞[-- 

3 3 3

Grafico del dominio e dello studio del segno

3

2

1 5 5

0

- 3 3

0

-1

-2

-3 0 1 2 3

-3 -2 -1

Non ci sono intersezioni con gli assi cartesiani

Creato da Roberto Caria per skuola.net 3

Limiti e asintoti

** **

Limiti 1

lim 0 y 0 asintoto orizzontale

= ⇒ =

5 3

3 x x

-5

x→-∞ 1 5

lim x asintoto verticale

= -∞ ⇒ = -

5 3 3

3 x x

-5

-

5

x→- 3 1 5

lim x asintoto verticale

= ∞ ⇒ =-

5 3 3

3 x x

-5

+

5

x→- 3 1 x 0

lim asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

5 3

3 x x

-5

x→0 - 1 x 0

lim asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

5 3

3 x x

-5

x→0 + 1 5

lim x asintoto verticale

= -∞ ⇒ =

5 3 3

3 x x

-5

-

5

x→ 3 1 5

lim x asintoto verticale

= ∞ ⇒ =

5 3 3

3 x x

-5

+

5

x→ 3 1 0 y 0

lim asintoto orizzontale

= ⇒ =

5 3

3 x x

-5

x→∞

Asintoti

y 0

= 5

x =- 3

x 0

= 5

x = 3

Studio della continuità

** **

Punti di discontinuità

Creato da Roberto Caria per skuola.net

4 1

x lim

Discontinuità di II specie

=0 = ∞

1 5 3

3 x x

-5

x→0 - 1

lim = -∞

5 3

3 x x

-5

x→0 +

f( 0 ) = ∄

5 1

x lim

Discontinuità di II specie

=- = -∞

2 5 3

3 3 x x

-5

-

5

x→- 3 1

lim = ∞

5 3

3 x x

-5

+

5

x→- 3 5

f  = ∄

- 3

5 1

x lim

Discontinuità di II specie

= = -∞

3 5 3

3 3 x x

-5

-

5

x→ 3 1

lim = ∞

5 3

3 x x

-5

+

5

x→ 3

5

f  = ∄

3

Creato da Roberto Caria per skuola.net 5

Derivata prima, punti stazionari e punti di non derivabilità

** **

15 1) 1)

(x - (x +

y (1) (x)=- 2

4 2 5

x

x 3 -

Studio del segno della derivata prima e ricerca dei punti stazionari

5 5

0 1

-∞ -1 ∞

- 3 3

-15 ⨯

1

-

x ⨯ ⨯ ⨯

4

x ⨯ ⨯

1

+

x ⨯ ⨯ ⨯

2

2 5

3 -

x ↘ ↘ ︶ ↗ ↗ ︵ ↘ ↘

Punti stazionari determinati con lo studio del segno della derivata prima

1

;

-1 Minimo relativo

  →

2

12

1 ; - Massimo relativo

  →

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Punti stazionari determinati col metodo delle derivate successive

1

;

-1 Minimo relativo

  →

2

12

1 ; - Massimo relativo

  →

Derivate successive utilizzate per calcolare i punti stazionari

2

15 x -1

f 1

( ) (x) = - 2

4 2

x x

5-3 

4 2

30 x x

9 -17 +10

f 2

( ) (x) = 3

5 2

x x

3 -5

Passaggi per determinare i punti stazionari

15

x y 0 y

(1) (2)

= -1 ( -1 ) = ( -1 ) =

1 2

15

x 1 y 1 0 y 1

(1) (2)

= ( ) = ( ) = -

2 2

La funzione non ha punti di non derivabilità

Creato da Roberto Caria per skuola.net 7

Derivata seconda e punti di flesso

** **

4 2

30 17 10

x x

9 - +

y (2) (x)= 3

5 2 5

x x

3 -

Studio del segno della derivata seconda e ricerca dei punti di flesso

5 5

0

-∞ ∞

- 3 3

⨯ ⨯ ⨯

30 ⨯ ⨯

5

x ⨯ ⨯

3

2 5

3 -

x ⨯ ⨯ ⨯

4 2

9 17 10

- +

x x ︵ ︶ ︵ ︶

Lo studio del segno della derivata seconda non restituisce punti di flesso

**********

Se lo studio del segno della derivata seconda é stato restituito in forma semplificata

é possibile che il tempo concesso per i calcoli non sia stato sufficiente

per determinare i punti di flesso

**********

Creato da Roberto Caria per skuola.net

Grafici della funzione

** **

Grafico panoramico

0.15

0.10

0.05 2 4

-4 -2 -0.05

-0.10

-0.15

Creato da Roberto Caria per skuola.net 9

Grafico in dettaglio

1.5

1.0

0.5 1 2

-2 -1 -0.5

-1.0

-1.5